Question

13．如圖所示，兩光滑斜面與光滑水平面間夾角均為θ，兩斜面末端與水平面平滑對接．可視為質點的物塊A、B質量分別為m、βm（β為待定系數(shù)），物塊A從左邊斜面h高處由靜止開始沿斜面下滑，與靜止于水平軌道的物塊B正面相撞，碰后物塊A、B立即分開，它們能達到的最大高度均為$\frac{1}{4}$h．兩物塊經(jīng)過斜面與水平面連接處及碰撞過程中均沒有機械能損失，重力加速度為g．求：

（1）待定系數(shù)β；
（2）第一次碰撞剛結束時木塊A、B各自的速度；
（3）物塊A、B在軌道最低處第二次碰撞剛結束時各自的速度，并討論木塊A、B在軌道最低處第n次碰撞剛結束時各自的速度．

Answer 1

分析 （1）由機械能守恒即可求出待定系數(shù)β；
（2）由于沒有機械能的損失，可知在碰撞的過程中動量守恒與機械能守恒，由此即可求出第一次碰撞剛結束時木塊A、B各自的速度；
（3）結合機械能守恒與動量守恒即可求出第二次碰撞后的速度，然后由歸納法得出在軌道最低處第n次碰撞剛結束時各自的速度．

解答 解：（1）碰撞過程中均沒有機械能損失，由機械能守恒得：$mgh=\frac{mgh}{4}+\frac{βmgh}{4}$
得  β=3
（2）A到達最低點的速度：${v}_{0}=\sqrt{2gh}$
設 A、B 碰撞后的速度分別為 v₁、v₂，設向右為正、向左為負，則
$\frac{1}{2}βm{v_2}^2=\frac{βmgh}{4}$
mv₀=mv₁+βmv₂
聯(lián)立得：${v_1}=-\sqrt{\frac{1}{2}gh}$，方向向左${v_2}=\sqrt{\frac{1}{2}gh}$，方向向右
（3）規(guī)定向右為正方向，設 A、B 第二次碰撞剛結束時的速度分別為 V₁、V₂，則
$\left\{\begin{array}{l}m{v_1}-βm{v_2}=m{V_1}+βm{V_2}\\ mgh=\frac{1}{2}m{V_1}^2+\frac{1}{2}βm{V_2}^2\end{array}\right.$
解得${V_1}=-\sqrt{2gh}，{V_2}=0$（另一組解：V₁=-v₁，V₂=-v₂ 不合題意，舍去）
由此可得：
當 n為奇數(shù)時，小球 A、B 在第 n次碰撞剛結束時的速度分別與其第一次碰撞剛結束時相同；
當 n為偶數(shù)時，小球 A、B 在第 n次碰撞剛結束時的速度分別與其第二次碰撞剛結束時相同．
答：（1）待定系數(shù)β是3；
（2）第一次碰撞剛結束時木塊A、B各自的速度是$-\sqrt{\frac{1}{2}gh}$和$\sqrt{\frac{1}{2}gh}$；
（3）物塊A、B在軌道最低處第二次碰撞剛結束時各自的速度分別是$-\sqrt{2gh}$和0，論木塊A、B在軌道最低處第n次碰撞剛結束時：當 n為奇數(shù)時，小球 A、B 在第 n次碰撞剛結束時的速度分別與其第一次碰撞剛結束時相同；當 n為偶數(shù)時，小球 A、B 在第 n次碰撞剛結束時的速度分別與其第二次碰撞剛結束時相同．

點評 該題的前兩問比較簡單，分別由動量守恒與能量守恒即可求出，解答的關鍵是第三問，要注意碰撞后的速度的方向與大小要合理．