Question

12．某星球可視質(zhì)量均勻分布的球體，其半徑為R，一衛(wèi)星在距該星球表面高度為2R的圓軌道上做勻速圓周運動，周期為T，萬有引力常量為G，下列說法中正確的是（　�。�

• A． 衛(wèi)星運行的加速度大小為$\frac{8{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
• B． 該星球的第一宇宙速度大小為$\frac{2πR}{T}$
• C． 該星球表面的重力加速度大小為$\frac{108{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
• D． 該星球的密度為$\frac{81π}{GT}$

Answer 1

分析 根據(jù)自由落體運動求出星球表面的重力加速度，再根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力討論即可．

解答 解：A、已知半徑與周期，由公式可得：a=$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
而r=R+2R=3R
所以：a=$\frac{12{π}^{2}R}{{T}^{2}}$．故A錯誤；
B、根據(jù)T=$\frac{2πr}{v}$，所以衛(wèi)星在3R軌道上的線速度：v=$\frac{6πR}{T}$
根據(jù)：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$可知，該星球的第一宇宙速度大小為：$v′=\sqrt{3}v=\frac{6\sqrt{3}πR}{T}$．故B錯誤；
C、根據(jù)星球表面的重力近似等于萬有引力，重力提供向心力可得：g=$\frac{v{′}^{2}}{R}$=$\frac{108{π}^{2}R}{{T}^{2}}$．故C正確；
D、設(shè)星球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，重力提供向心力可得：$\frac{GMm}{{9R}^{2}}$=$\frac{m•4{π}^{2}•3R}{{T}^{2}}$
而：M=$ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$
聯(lián)立得：ρ=$\frac{81π}{G{T}^{2}}$．故D錯誤
故選：C

點評 本題關(guān)鍵是根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力和萬有引力等于重力求解．