Question

已知某行星半徑為R，以其第一宇宙速度運(yùn)行的衛(wèi)星的繞行周期為T，該行星上發(fā)射的同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度為v．求
（1）同步衛(wèi)星距行星表面的高度為多少？
（2）該行星的自轉(zhuǎn)周期為多少？

Answer 1

分析：（1）第一宇宙速度的軌道半徑為R，根據(jù)

GMm

R2

=m

4π2

T2

R求出GM，再根據(jù)萬有引力提供向心力

GMm

(R+h)2

=m

v2

R+h

求出同步衛(wèi)星的高度．
（2）行星自轉(zhuǎn)周期等于同步衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期，根據(jù)T=

2πr

v

求出自轉(zhuǎn)周期．

解答：解：（1）設(shè)同步衛(wèi)星距地面高度為h，則：

GMm

(R+h)2

=m

v2

R+h

①
以第一宇宙速度運(yùn)行的衛(wèi)星其軌道半徑就是R，則   

GMm

R2

=m

4π2

T2

R②
由①②得：h=

4π2R3

T2v2

-R
（2）行星自轉(zhuǎn)周期等于同步衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期   
T=

2π(R+h)

v

=

8π3R3

T2v3

答：（1）同步衛(wèi)星距行星表面的高度為h=

4π2R3

T2v2

-R．
（2）該行星的自轉(zhuǎn)周期為

8π3R3

T2v3

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道第一宇宙速度是衛(wèi)星貼著行星表面做圓周運(yùn)動(dòng)的速度，知道衛(wèi)星繞行星做圓周運(yùn)動(dòng)靠萬有引力提供向心力．