Question

8．如圖所示，固定的四分之一光滑圓弧軌道AB和水平傳送帶BC在同一豎直平面內(nèi)，圓軌道半徑為R，下端點(diǎn)B與緊靠的水平傳送帶上表面處于同一高度．傳送帶左右端B、C 間距為L(zhǎng)，沿逆時(shí)針?lè)较虻膫鲃?dòng)速度為v₁，一質(zhì)量為m的小物塊從圓弧頂點(diǎn)A由靜止開(kāi)始沿軌道下滑，不計(jì)物塊經(jīng)過(guò)軌道與傳送帶連接處B時(shí)的機(jī)械能損失，重力加速度為g．
（1）求物塊經(jīng)過(guò)圓弧軌逍B點(diǎn)時(shí)受到的彈力N．
（2）若物塊從C端離開(kāi)傳送帶時(shí)的速度為v₂，求物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ．
（3）若物塊不能在C端離開(kāi)傳送帶，與傳送帶間的動(dòng)凈擦因數(shù)為μ₀，求物塊從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次離開(kāi)傳送帶的過(guò)程中，物塊與傳送帶間摩擦產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）先由機(jī)械能守恒定律求出物塊到達(dá)B點(diǎn)的速度．在B點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求出物塊受到的彈力N．
（2）研究物塊由A滑到C的過(guò)程，由動(dòng)能定理求出物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ．
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出物塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的加速度，由速度公式求出物塊在傳送帶上向右運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．根據(jù)物塊剛滑上傳送帶時(shí)的速度與傳送帶速度的關(guān)系，分析物塊的運(yùn)動(dòng)情況，由位移公式求出物塊與傳送帶間的相對(duì)位移，從而求得熱量．

解答 解：（1）設(shè)物塊經(jīng)過(guò)圓弧軌道B點(diǎn)的速度為v，則由機(jī)械能守恒定律得
   mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得
   N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得 N=3mg
（2）物塊由A滑到C的過(guò)程，由動(dòng)能定理得
    mgR-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-0
解得  μ=$\frac{R}{L}$-$\frac{{v}_{2}^{2}}{2gL}$
（3）物塊在傳送帶上滑行的加速度大小 a=$\frac{{μ}_{0}mg}{m}$=μ₀g
物塊在傳送帶上向右運(yùn)動(dòng)的時(shí)間  t=$\frac{v}{a}$=$\frac{\sqrt{2gR}}{{μ}_{0}g}$
①當(dāng)v₁≥$\sqrt{2gR}$時(shí)，Q=fs_相對(duì)=2μ₀mg[（v₁t+$\frac{{v}^{2}}{2a}$）+（v₁t-$\frac{{v}^{2}}{2a}$）]
解得 Q=4μ₀mgv₁t=4mv₁$\sqrt{2gR}$
②當(dāng)v₁＜$\sqrt{2gR}$時(shí)，物塊沿傳送帶第一次向左運(yùn)動(dòng)過(guò)程，先加速運(yùn)動(dòng)，后勻速運(yùn)動(dòng)
加速運(yùn)動(dòng)時(shí)間  t′=$\frac{{v}_{1}}{a}$=$\frac{{v}_{1}}{{μ}_{0}g}$
第一次離開(kāi)傳送帶前產(chǎn)生的熱量
   Q₁=μ₀mg[（v₁t+$\frac{{v}^{2}}{2a}$）+（v₁t′-$\frac{{v}_{1}^{2}}{2a}$）]
第一次到第二次離開(kāi)傳送帶產(chǎn)生的熱量 
  Q₂=μ₀mg[（v₁t′+$\frac{{v}_{1}^{2}}{2a}$）+（v₁t′-$\frac{{v}_{1}^{2}}{2a}$）]
解得 Q=Q₁+Q₂=m（gR+v₁$\sqrt{2gR}$+$\frac{5}{2}{v}_{1}^{2}$）
答：
（1）物塊經(jīng)過(guò)圓弧軌逍B點(diǎn)時(shí)受到的彈力N是3mg．
（2）物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ是$\frac{R}{L}$-$\frac{{v}_{2}^{2}}{2gL}$．
（3）物塊從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次離開(kāi)傳送帶的過(guò)程中，物塊與傳送帶間摩擦產(chǎn)生的熱量Q是m（gR+v₁$\sqrt{2gR}$+$\frac{5}{2}{v}_{1}^{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 解答該題時(shí)，要注意一下幾個(gè)方面：
1、能準(zhǔn)確的使用機(jī)械能守恒定律進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，使用時(shí)首先要判斷是否符合守恒的條件，看是否只有重力和彈力做功，或其他力做功的代數(shù)和是否為零．
2、對(duì)于第三問(wèn)的解答上，弄清楚物塊的應(yīng)該過(guò)程是解答該題的關(guān)鍵．在弄清運(yùn)動(dòng)過(guò)程的基礎(chǔ)上，再利用相關(guān)的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，尤其是象該題這種存在往復(fù)運(yùn)動(dòng)的情況，在分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程上一定要仔細(xì)全面．
3、相對(duì)路程的計(jì)算是該題的另一個(gè)難點(diǎn)，在分析問(wèn)題時(shí)，可以結(jié)合運(yùn)動(dòng)的軌跡圖來(lái)分析運(yùn)動(dòng)的過(guò)程．