Question

9．如圖所示，在光滑的水平面上有兩塊完全相同的足夠長的木板A和B，它們的質(zhì)量均為M_A=M_B=$\frac{M}{2}$，先讓長木板A在光滑水平地面上以速度2υ₀勻速運動，與靜止的長木板B發(fā)生完全非彈性碰撞．設(shè)碰撞時間極短，碰撞結(jié)束后A、B做為一個整體沿水平方向向右運動．在運動的前方，沿著長木板運動方向相距一定距離站著序號標有1、2、3、…、n的人，每人手中各拿著與長木板間的動摩擦因數(shù)均為μ質(zhì)量均為m的物塊，各物塊在長木板上發(fā)生相對滑動時，會留下一條“劃痕”當長木板運動到第一個人的身旁時，第一個人將手中的物塊無初速地輕放在長木板的最前端．當長木板運動到第二個人身旁時，第一塊物塊恰好相對長木板靜止，第二個人將手中的物塊放置在長木板的最前端．當長木板運動到第三個人身旁時，第二塊物塊恰好相對長木板靜止，第三個人將手中的物塊放罝在長木板的最前端．…依此類推，當前個人放置的物塊相對長木板靜止時，第n個人就將手中的物塊放置在長木板的最前墑．（各物塊之間不會相互碰撞） 求：
（1）在AB碰撞過程中，產(chǎn)生了多少熱量？
（2）第一個人與第二個人相距多遠？
（3）這n個物塊相對木板均靜止時，長木板上的劃癍之和為多少？

Answer 1

分析 （1）在AB碰撞過程中，遵守動量守恒定律，由此求出碰后兩者的共同速度．再由能量守恒定律求產(chǎn)生的熱量．
（2）第一個人與第二個人相距等于第一塊物塊木板上滑行的過程中木板滑行的距離，由動量守恒定律和動能定理結(jié)合求解．
（3）再由動量守恒定律和能量守恒定律結(jié)合求長木板上的劃痕之和．

解答 解：（1）在AB碰撞過程中，取向右為正方向，由動量守恒定律得：
   $\frac{M}{2}$×2v₀=（$\frac{M}{2}$+$\frac{M}{2}$）v
由能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}$×$\frac{M}{2}$×（2v₀）²=$\frac{1}{2}$（$\frac{M}{2}$+$\frac{M}{2}$）v²+Q
聯(lián)立解得：Q=$\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}$
（2）第一塊物塊在木板上滑動的過程，取向右為正方向，由動量守恒定律得：
Mv₀=（M+m）v₁．
對木板，由動能定理得：
$\frac{1}{2}$Mv₁²-$\frac{1}{2}$Mv₀²=-μmgL₁．
可得，第一個人與第二個人相距為：L₁=$\frac{M（2M+m）{v}_{0}^{2}}{2μ（M+m）^{2}g}$
（3）以n個物塊和A、B組成的系統(tǒng)為研究對象，對整個過程，由動量守恒定律得：
Mv₀=（M+nm）v₂．
由能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}$Mv₀²=$\frac{1}{2}$（M+nm）v₂²+μmgx_總．
解得長木板上的劃痕之和為：
x_總=$\frac{nM{v}_{0}^{2}}{2μ（M+nm）g}$
答：（1）在AB碰撞過程中，產(chǎn)生了$\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}$熱量．
（2）第一個人與第二個人相距為$\frac{M（2M+m）{v}_{0}^{2}}{2μ（M+m）^{2}g}$．
（3）這n個物塊相對木板均靜止時，長木板上的劃痕之和為$\frac{nM{v}_{0}^{2}}{2μ（M+nm）g}$．

點評 本題要明確非彈性碰撞和相對滑行的過程中，系統(tǒng)遵守的基本規(guī)律是：動量守恒定律和能量守恒定律．要知道摩擦產(chǎn)生的熱量與相對位移有關(guān)．