Question

2．為了迎接太空時代的到來，美國國會通過了一項計劃，在2050年前建造太空升降機，就是把長繩的一端擱置在地球的衛(wèi)星上，另一端系住升降機，放開繩，升降機能到達地球上，人坐在升降機里，在衛(wèi)星上通過電動機把升降機拉到衛(wèi)星上．已知地球表面的重力加速度g=10m/s²，地球半徑R=6400km．求：
（1）某人在地球表面用彈簧測力計稱得重800N，站在升降機中．當(dāng)升降機以加速度a=g（g為地球表面處的重力加速度）垂直地面上升，這時此人再一次用同一彈簧測力計稱得視重為880N，忽略地球公轉(zhuǎn)的影響，求升降機此時距地面的高度；
（2）如果把繩的一端擱置在同步衛(wèi)星上，繩的長度至少為多少米？（保留兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 根據(jù)牛頓第二定律求出當(dāng)時的重力加速度，根據(jù)萬有引力等于重力，得出軌道半徑，從而得出高度．
通過萬有引力提供向心力，求出同步衛(wèi)星的軌道半徑，從而知道繩的長度．

解答 解：（1）由題意可知人的質(zhì)量為：m=80kg
對人根據(jù)牛頓第二定律得：880-mg′=mg  
根據(jù)萬有引力等于重力得：
mg′=$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}$，
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
解得：g′=${（\frac{R}{R+h}）}^{2}$g
即h=2.16R=1.38×10⁷m
（2）同步衛(wèi)星圍繞行星做勻速圓周運動，由地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供衛(wèi)星所需的向心力列出等式：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$，
r=R+h′
T為地球自轉(zhuǎn)周期，結(jié)合GM=gR²．
得：h′=3.6×10⁷m
答：（1）升降機此時距地面的高度是1.38×10⁷m；
（2）如果把繩的一端擱置在同步衛(wèi)星上，繩的長度至少為3.6×10⁷m

點評 衛(wèi)星所受的萬有引力等于向心力、萬有引力等于重力是衛(wèi)星類問題必須要考慮的問題，本題根據(jù)這兩個關(guān)系即可列式求解！