Question

10．宇宙飛船以周期為T繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于地球遮擋陽光，會(huì)經(jīng)歷“日全食”過程，如圖所示．已知地球的半徑為R，引力常量為G，地球自轉(zhuǎn)周期為T₀，太陽光可看作平行光，宇航員在軌道上A點(diǎn)測(cè)出的張角為α，則（　�。�

• A． 飛船繞地球運(yùn)動(dòng)的線速度為$\frac{2πR}{Tsin（\frac{α}{2}）}$
• B． 一天內(nèi)飛船經(jīng)歷“日全食”的次數(shù)為$\frac{{T}_{0}}{T}$
• C． 飛船每次“日全食”過程的時(shí)間為$\frac{αT}{π}$
• D． 地球密度為$\frac{3π}{G{T}^{2}}$

Answer 1

分析 宇宙飛船繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由飛船的周期及半徑可求出飛船的線速度；同時(shí)由萬有引力提供向心力的表達(dá)式，可列出周期與半徑及角度α的關(guān)系．當(dāng)飛船進(jìn)入地球的影子后出現(xiàn)“日全食”到離開陰影后結(jié)束，所以算出在陰影里轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，即可求出發(fā)生一次“日全食”的時(shí)間；由地球的自轉(zhuǎn)時(shí)間與宇宙飛船的轉(zhuǎn)動(dòng)周期，可求出一天內(nèi)飛船發(fā)生“日全食”的次數(shù)．

解答 解：A、飛船繞地球勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
所以線速度為v=$\frac{2πr}{T}$
又由幾何關(guān)系知$sin\frac{α}{2}=\frac{R}{r}$
所以 $v=\frac{2πR}{Tsin\frac{α}{2}}$ 故A正確；
B、地球自轉(zhuǎn)一圈時(shí)間為To，飛船繞地球一圈時(shí)間為T，飛船繞一圈會(huì)有一次日全食，所以每過時(shí)間T就有一次日全食，得一天內(nèi)飛船經(jīng)歷“日全食”的次數(shù)為$\frac{{T}_{0}^{\;}}{T}$． 故B正確；
C、由幾何關(guān)系，飛船每次“日全食”過程的時(shí)間內(nèi)飛船轉(zhuǎn)過α角，所需的時(shí)間為t=$\frac{π-α}{2π}T$；故C錯(cuò)誤；
D、萬有引力提供向心力則
所以：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$=$\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}si{n}_{\;}^{3}\frac{α}{2}}$
所以：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}si{n}_{\;}^{3}\frac{α}{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}$=$\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}si{n}_{\;}^{3}\frac{α}{2}}$，故D錯(cuò)誤；
故選：AB．

點(diǎn)評(píng) 掌握勻速圓周運(yùn)動(dòng)中線速度、角速度及半徑的關(guān)系，同時(shí)理解萬有引力定律，并利用幾何關(guān)系得出轉(zhuǎn)動(dòng)的角度．