Question

9．太陽系中某行星A運行的軌道半徑為R，周期為T，但天文學(xué)家在觀測中發(fā)現(xiàn)，其實際運行的軌道與圓軌道存在一些偏離，且每隔時間￡發(fā)生一次最大的偏離．形成這種現(xiàn)象的原因可能是A外側(cè)還存在著一顆未知行星B，它對A的萬有引力引起A行星軌道的偏離，假設(shè)其運動軌道與A在同一平面內(nèi)，且與A的繞行方向相同，由此可推測未知行星日繞太陽運行的圓軌道半徑為（　�。�

• A． R$\frac{t}{t-T}$
• B． R$\root{3}{\frac{tT}{（t-T）^{2}}}$
• C． R$\root{3}{（\frac{t-T}{t}）^{2}}$
• D． R$\root{3}{（\frac{t}{t-T}）^{3}}$

Answer 1

分析 先根據(jù)多轉(zhuǎn)動一圈時間為t，求出未知行星B的周期；然后再根據(jù)開普勒第三定律解得未知行星B的軌道半徑．

解答 解：由題意可知：A、B相距最近時，B對A的影響最大，且每隔時間t發(fā)生一次最大的偏離，說明A、B相距最近，設(shè)B行星的周期為T′，則有：
（$\frac{2π}{T}-\frac{2π}{T′}$）t=2π
解得：T′=$\frac{tT}{t-T}$
根據(jù)開普勒第三定律，有：
$\frac{R{′}^{3}}{T{′}^{2}}=\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$
解得：
R′=R$\root{3}{{（\frac{t}{t-T}）}^{3}}$
故選：D

點評 本題關(guān)鍵是明確物理情境并建立勻速圓周運動的物理模型，明確發(fā)生最大偏離的原因是由于兩個行星相距最近而導(dǎo)致萬有引力最大；然后根據(jù)相對運動知識和牛頓第二定律列式求解，不難．