Question

12．如圖所示，一個半徑為R的四分之一光滑球球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均勻鐵鏈，其A端固定在球面的頂點，B端恰與桌面不接觸，鐵鏈單位長度的質(zhì)量為p．試求鐵鏈A端受的拉力T．

Answer 1

分析 以鐵鏈為研究對象，分析鐵鏈的受力情況，將鐵鏈分割，分析每一小段鐵邊的受力，利用微元法求解即可．

解答 解：以鐵鏈為研究對象，由于整條鐵鏈的長度不能忽略不計，所以整條鐵鏈不能看成質(zhì)點，要分析鐵鏈的受力情況，須考慮將鐵鏈分割，使每一小段鐵鏈可以看成質(zhì)點，分析每一小段鐵邊的受力，根據(jù)物體的平衡條件得出整條鐵鏈的受力情況在鐵鏈上任取長為△L的一小段（微元）為研究對象，其受力分析如圖甲所示由于該元處于靜止狀態(tài)，所以受力平衡，在切線方向上應滿足：
T_θ+△T_θ=△Gcosθ+T_θ，所以△T_θ=△Gcosθ=p△Lgcosθ，
由于每段鐵鏈沿切線向上的拉力比沿切線向下的拉力大△T_θ，所以整個鐵鏈對A端的拉力是各段上△T_θ的和，
即：T=∑△T_θ=∑p△Lgcosθ=pg∑△Lcosθ，
觀察△Lcosθ的意義，見圖乙，意義△θ很小，所以CD⊥OC，∠OCE=θ，△Lcosθ表示△L在豎直方向的投影△R，所以∑△Lcosθ=R，
可得鐵鏈A端受到的拉力T=pg∑△Lcosθ=pgR．
答：求鐵鏈A端受的拉力T為pgR．

點評 本題主要是考查了共點力的平衡問題，解答此類問題的一般步驟是：確定研究對象、進行受力分析、利用平行四邊形法則進行力的合成或者是正交分解法進行力的分解，然后在坐標軸上建立平衡方程進行解答；本題涉及微元法求解拉力，難度大．