Question

6．a(chǎn)、b兩顆人造衛(wèi)星的質(zhì)量之比m_a：m_b=2：1，軌道半徑之比r_a：r_b=9：4，求：a、b的運行速率之比v_a：v_b；a、b的運行周期之比T_a：T_b；a、b所在軌道處的重力加速度之比g_a：g_b．

Answer 1

分析 人造衛(wèi)星繞地球做圓周運動受到的萬有引力提供向心力，分別用周期、速率來表示向心力，化簡公式即可求解結(jié)果．

解答 解：衛(wèi)星繞地球圓周運動的向心力由萬有引力提供有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}=mg$有：
衛(wèi)星的運行速率$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，可得$\frac{{v}_{a}}{{v}_}=\frac{\sqrt{\frac{GM}{{r}_{a}}}}{\sqrt{\frac{GM}{{r}_}}}=\sqrt{\frac{{r}_}{{r}_{a}}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$=$\frac{2}{3}$
衛(wèi)星的運行周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，可得$\frac{{T}_{a}}{{T}_}$=$\frac{\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}_{a}^{3}}{GM}}}{\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}_^{3}}{GM}}}=\sqrt{（\frac{{r}_{a}}{{r}_}）^{3}}=\sqrt{（\frac{9}{4}）^{3}}$=$\frac{27}{8}$
衛(wèi)星軌道處的重力加速度g=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，可得$\frac{{g}_{a}}{{g}_}=\frac{\frac{GM}{{r}_{a}^{2}}}{\frac{GM}{{r}_^{2}}}=（\frac{{r}_}{{r}_{a}}）^{2}$=$（\frac{4}{9}）^{2}$=$\frac{16}{81}$
答：a、b的運行速率之比v_a：v_b為2：3，a、b的運行周期之比T_a：T_b為27：8，a、b所在軌道處的重力加速度之比g_a：g_b為16：81．

點評 對于衛(wèi)星問題一定掌握：萬有引力提供向心力，可以用衛(wèi)星的速度、周期、角速度來分別表示向心力，從而求出結(jié)果．注意環(huán)繞天體的質(zhì)量對線速度、周期及重力加速度無影響．