Question

19．如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的寬度都是d₁，水平方向無限長(zhǎng)，相鄰磁場(chǎng)區(qū)域的間距均為d₂，x軸的正上方有一電場(chǎng)強(qiáng)度為E、方向與x軸和磁場(chǎng)均垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域．現(xiàn)將一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子（重力不計(jì)）從x軸正上方高h(yuǎn)處自由釋放．

（1）求粒子在磁場(chǎng)區(qū)域做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r．
（2）若粒子只經(jīng)過第1個(gè)和第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域回到x軸，求粒子從釋放到回到x軸所需要的時(shí)間t．
（3）若粒子以初速度V₀從高為h處沿x軸正方向水平射出后，最遠(yuǎn)到達(dá)第k個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域并回到x軸，則d₁應(yīng)該滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出軌道半徑的大�。�
（2）根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，粒子在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)合成半圓弧，根據(jù)周期公式求出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，根據(jù)幾何關(guān)系求出在無磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)行的位移，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出在無磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)行的時(shí)間，從而得出總時(shí)間．
（3）粒子以初速度v₀從h處沿x軸正方向水平射出后，最遠(yuǎn)到達(dá)第k個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域并回到x軸．則粒子在磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)由2k-1個(gè)圓弧組成，并且2k-1個(gè)圓弧合并為一段圓�。�結(jié)合幾何關(guān)系以及粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑公式求出d_l、d₂應(yīng)該滿足的條件．

解答 解答：解：（1）設(shè)粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v
在電場(chǎng)區(qū)域中根據(jù)動(dòng)能定理  qEh=$\frac{1}{2}$mv²--①
磁場(chǎng)區(qū)域中，圓周運(yùn)動(dòng) qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$-------②
解得 R=$\sqrt{\frac{2mEh}{q{B}^{2}}}$-------------------③
（2）設(shè)粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，
根據(jù)牛頓第二定律 ma=qE
勻加速運(yùn)動(dòng) $\frac{1}{2}$at₁²=h    
解得${t}_{1}=\sqrt{\frac{2mh}{qE}}$---------④
粒子在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)合成半圓弧，時(shí)間為：${t}_{2}=\frac{πm}{qB}$---⑤
設(shè)粒子離開第一個(gè)無磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，速度的水平夾角為α，有
sinα=$\sqrt{\frac{{r}^{2}-9boh4ah_{1}^{2}}{t}}$
粒子在無磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的路程為s=$\frac{2ap544qt_{2}}{sinα}$
粒子在無磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)間為${t}_{3}=\frac{s}{v}$---------------⑥
解得的總時(shí)間為：
t=t₁+t₂+t₃=$\sqrt{\frac{2mh}{qE}}+\frac{πm}{qB}+\frac{2mul59gtj_{2}}{\sqrt{2mqEh-（qB4o45t9l_{1}）^{2}}}$---------------⑦
（3）粒子經(jīng)過第k個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域回到x軸，則粒子在磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)由2k-1個(gè)圓弧組成，并且2k-1個(gè)圓弧合并為一段圓�。�粒子進(jìn)入第一個(gè)磁場(chǎng)時(shí)，速度為v，與水平方向夾角為α
v_∥=v₀；${v}_{⊥}=\sqrt{\frac{2qEh}{m}}$；cosα=$\frac{{v}_{∥}}{v}$---------------⑧
有幾何關(guān)系知，應(yīng)滿足條件（k-1）d₁＜r（1-cosα）＜kd₁---------------⑨
解得：$\frac{m}{qBk}（\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2qEh}{m}}-{v}_{0}）＜vnn9gip_{1}＜\frac{m}{qB（k-1）}（\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2qEh}{m}}-{v}_{0}）$-----------⑩
粒子回到x軸的條件與d₂無關(guān)．
答：（1）粒子在磁場(chǎng)區(qū)域做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑是$\sqrt{\frac{2mEh}{q{B}^{2}}}$．
（2）自釋放到回到x軸所需要的時(shí)間為$\sqrt{\frac{2mh}{qE}}+\frac{πm}{qB}+\frac{2mptbrnnq_{2}}{\sqrt{2mqEh-{（qBczzv3gs_{1}）}^{2}}}$．
（3）d₁應(yīng)該滿足$\frac{m}{qBk}（\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2qEh}{m}}-{v}_{0}）＜azxiw9q_{1}＜\frac{m}{qB（k-1）}（\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2qEh}{m}}-{v}_{0}）$，粒子回到x軸的條件與d₂無關(guān)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵理清粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合幾何關(guān)系，運(yùn)用牛頓第二定律、動(dòng)能定理以及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．