Question

14．甲、乙同學在平直跑道上玩追逐游戲．開始時甲靜止在乙的前方，某時刻，乙以6m/s的速度從甲的身邊跑過，從乙在甲身邊經(jīng)過時算起，經(jīng)過0.5s的反應時間甲開始追趕乙．若乙作勻速運動，甲先以4m/s²的加速度作勻加速運動，達到最大速度8m/s后作勻速運動．求：
（1）甲追上乙前兩人的最大距離是多少？
（2）甲一共要追逐多長時間才能追上乙？
（3）若甲的最大速度不變，要求甲在起跑后4.5s內追上乙，則甲應先以多大的加速度加速？

Answer 1

分析 （1）當兩人的速度相等時距離最大，由速度公式求時間，再由位移公式求解最大距離．
（2）甲追上乙時兩者的位移相等，由位移關系和位移公式結合解答．
（3）與上題相似，由位移關系和位移公式結合求解．

解答 解（1）當兩人的速度相等時距離最大，設甲經(jīng)過時間t時兩者距離最大，由 v_乙=at得：
  t=$\frac{{v}_{乙}^{\;}}{a}$=$\frac{6}{4}$=1.5s
最大距離是 S=v_乙（t+0.5）-$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=6×2-$\frac{1}{2}$×4×1.5²=7.5m
（2）當甲的速度到達最大時通過的位移 x_甲=$\frac{{v}_{甲}^{2}}{2a}$=$\frac{{8}^{2}}{2×4}$m=8m
所用時間 t₁=$\frac{{v}_{甲}}{a}$=$\frac{8}{4}$s=2s
此過程中乙的位移 x_乙=v_乙（t₁+0.5）=6×2.5m=15m
可知甲的速度剛達最大時還沒有追上乙，設再經(jīng)過時間t₂，甲追上乙
則有 x_乙-x_甲=v_甲t₂-v_乙t₂，得 t₂=3.5s
共用時 t_總=t₁+t₂=5.5s
（3）設甲應先以加速度a′加速，才能滿足要求．
則 v_乙（t₃+0.5）=$\frac{{v}_{甲}^{2}}{2a′}$+v_甲（t₃-$\frac{{v}_{甲}}{a′}$）
解得 a′=$\frac{16}{3}$m/s²．
答：
（1）甲追上乙前兩人的最大距離是7.5m．
（2）甲一共要追逐5.5s時間才能追上乙．
（3）若甲的最大速度不變，要求甲在起跑后4.5s內追上乙，則甲應先以大小為$\frac{16}{3}$m/s²的加速度加速．

點評 解決本題的關鍵理清運動過程，分析兩個運動員之間的關系，如位移關系、時間關系，再運用運動學公式靈活求解．