Question

如圖，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，自然狀態(tài)時(shí)其右端位于B點(diǎn)．水平桌面右側(cè)有一豎直放置的軌道MNP，其形狀為半徑R=1.0m的圓環(huán)剪去了左上角120°的圓弧，MN為其豎直直徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離是h=2.4m．用質(zhì)量m₁=0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)物塊恰停止在B點(diǎn)．用同種材料、質(zhì)量為m₂=0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)釋放，物塊過(guò)B點(diǎn)后做勻變速運(yùn)動(dòng)其位移與時(shí)間的關(guān)系為s=6t-2t²，物塊飛離桌面后恰好由P點(diǎn)沿切線落入圓軌道．（不計(jì)空氣阻力，g取10m/s²，sin60°=

3

2

，cos60°=

1

2

）

求：（1）物塊m₂過(guò)B點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速度v_B及與桌面間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)μ．
（2）若軌道MNP光滑，小球經(jīng)過(guò)軌道最低點(diǎn)N時(shí)對(duì)軌道的壓力F_N．
（3）若小球剛好能到達(dá)軌道最高點(diǎn)M，則釋放后m₂運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服摩擦力做的功W．

Answer 1

（1）m₂過(guò)B點(diǎn)后遵從：s=6t-2t²，
由此可知，v_B=6m/s，a=-4m/s²．
由牛頓第二定律得：μmg=ma，解得：μ=0.4；
（2）小球離開(kāi)桌面后做平拋運(yùn)動(dòng)，
在豎直方向上：h=

v 2y

2g

=2.4m，
P點(diǎn)速度在豎直方向的分量：
v_y=v_Dtan60°=4

3

m/s，
解得離開(kāi)D點(diǎn)的速度為v_D=4m/s，
由機(jī)械能守恒定律得：

1

2

mv_N²=

1

2

mv_D²+mg（h+R-Rcosθ），
解得：v_N²=74m²/s²，
在N點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
F_N′-mg=m

v 2N

R

，解得：F_N′=42N，
由牛頓第三定律得，壓力：F=F'=42N，方向豎直向下．
（3）小球剛好能到達(dá)M點(diǎn)，
由牛頓第二定律得：mg=m

v 2M

R

，
小球到達(dá)P點(diǎn)的速度v_P=

v 20 + v 2y

=8m/s．
從P到M點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：
-mgR（1+cosθ）-W_PM=

1

2

mv_M²+-

1

2

mv_P²，解得：W_PM=2.4J；
從B到D點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：-W_BD=

1

2

mv_D²-

1

2

mv_B²，解得：W_BD=2J；
從C到B點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：E_P=μm₁gx_CB，E_P=μm₂gx_CB+

1

2

m₂v_B²，
解得：3μm₂gx_CB=

1

2

m₂v_B²，W_CB=3μm₂gx_CB=1.2J，
則釋放后m₂運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服摩擦力做的功為：
W=W_CB+W_BD+W_PM=1.2J+2J+2.4J=5.6J；
答：（1）物塊m₂過(guò)B點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速度v_B為6m/s，與桌面間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為0.4．
（2）若軌道MNP光滑，小球經(jīng)過(guò)軌道最低點(diǎn)N時(shí)對(duì)軌道的壓力為42N方向豎直向下．
（3）若小球剛好能到達(dá)軌道最高點(diǎn)M，則釋放后m₂運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服摩擦力做的功為5.6J．