Question

3．如圖所示，水平傳送帶A、B兩輪間的距離L=40m，離地面的高度H=3.2m，傳送帶一直以恒定的速率v₀=2m/s順時針勻速轉(zhuǎn)動．兩個完全一樣的滑塊P、Q由輕質(zhì)彈簧相連接，用一輕繩把兩滑塊拉至最近，使彈簧處于最大壓縮狀態(tài)繃緊，輕放在傳送帶的最左端．開始時P、Q一起從靜止開始運動，t₁=3s后突然輕繩斷開，很短時間內(nèi)彈簧伸長至本身的自然長度（不考慮彈簧的長度的影響），此時滑塊Q的速度大小剛好是P的速度大小的兩倍．且它們的運動方向相反，已知滑塊的質(zhì)量是m=0.2kg，滑塊與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)是μ=0.1，重力加速度g=10m/s²．（滑塊P、Q和輕質(zhì)彈簧都可看成質(zhì)點，$\sqrt{2}$取1.4）求：
（1）彈簧處于最大壓縮狀態(tài)時，彈簧的彈性勢能？
（2）兩滑塊落地的時間差？
（3）兩滑塊落地點間的距離？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求得滑塊在傳送帶上運動的加速度大小，由速度公式求得滑塊從靜止開始運動到與傳送帶相對靜止所用的時間．由位移公式求得此過程滑塊的位移，分析滑塊的運動情況．結(jié)合彈簧將兩個物體彈開的過程，運用動量守恒定律和能量守恒定律求出兩個物體被彈開時的速度大小，從而求得彈簧處于最大壓縮狀態(tài)時彈性勢能．
（2）、（3）兩滑塊做平拋運動的高度一樣，平拋的時間相等，所以兩滑塊落地的時間差就是彈簧到自然長度后，兩滑塊在傳送帶上的運動時間．根據(jù)運動學公式求出兩個物體離開傳送帶時的速度，再由平拋運動的規(guī)律求兩滑塊落地的時間差和兩滑塊落地點間的距離．

解答 解：（1）滑塊在傳送帶上運動的加速度大小 a=$\frac{μmg}{m}$=μg=1m/s²．
滑塊從靜止開始運動到與傳送帶相對靜止所用的時間 t₀=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{2}{1}$=2s
這段時間內(nèi)滑塊的位移 x₀=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×{2}^{2}$m=2m＜L=40m，故滑塊第2s末相對傳送帶靜止
t₁=3s時，滑塊的速度是v₀=2m/s，滑塊的位移 x₁=x₀+v₀（t₁-t₀）=2+2×1=4m
彈簧彈開物體的過程，取向右為正方向，由動量守恒定律得：2mv₀=mv_Q-mv_P．
又有v_Q=2v_P，解得彈簧伸長至本身的自然長度時，滑塊Q的速度大小 v_Q=8m/s，滑塊P的速度大小 v_P=4m/s
由能量守恒定律得彈簧處于最大壓縮狀態(tài)時，彈性勢能為 E_p=$\frac{1}{2}$mv_Q²+$\frac{1}{2}$mv_P²-$\frac{1}{2}（2m）{v}_{0}^{2}$
解得 E_p=7.2J
（2）兩滑塊做平拋運動的高度一樣，平拋的時間相等，所以兩滑塊落地的時間差就是彈簧到自然長度后，兩滑塊在傳送帶上的運動時間
滑塊Q與傳送帶相對靜止的時間 t₂=$\frac{{v}_{Q}-{v}_{0}}{a}$=6s，這段時間內(nèi)滑塊運動的位移 x₂=v_Qt₂-$\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$．
解得 x₂=30m＜L-x₁=36m，所以滑塊Q先勻減速運動，后勻速運動，滑塊Q勻速運動的時間  t₃=$\frac{L-{x}_{1}-{x}_{2}}{{v}_{0}}$=$\frac{40-4-30}{2}$=3s
滑塊P速度減小到0時候，滑塊P運動的位移 x₃=$\frac{{v}_{P}^{2}}{2a}$=$\frac{{4}^{2}}{2×1}$=8m＞x₁=4m
滑塊P滑到傳送帶左端時的速度 v_P′=$\sqrt{{v}_{P}^{2}-2a{x}_{1}}$=$\sqrt{{4}^{2}-2×1×4}$=2$\sqrt{2}$m/s，運動時間 t₄=$\frac{{v}_{P}-{v}_{P}′}{a}$=$\frac{4-2\sqrt{2}}{1}$≈1.2s
兩滑塊落地的時間差△t=t₂+t₃-t₄=7.8s
（3）滑塊P離開傳送帶做平拋運動的水平距離 x₄=v_P′$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{\frac{2×3.2}{10}}$≈2.24m
滑塊Q離開傳送帶做平拋運動的水平距離 x₅=v₀$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=2×$\sqrt{\frac{2×3.2}{10}}$=1.6m
兩滑動落地點間的距離△x=x₄+L+x₅=43.84m
答：
（1）彈簧處于最大壓縮狀態(tài)時，彈簧的彈性勢能是7.2J．
（2）兩滑塊落地的時間差是7.8s．
（3）兩滑塊落地點間的距離是43.84m．

點評 解決本題的關(guān)鍵會根據(jù)物體的受力判斷物體的運動，邊計算邊判斷．要抓住彈簧彈開物體的過程，系統(tǒng)的動量守恒．物體在傳送帶上運動時要研究物體與傳送帶共速的狀態(tài)．