Question

“神舟六號”載人飛船于2005年10月12日上午9點整在酒泉航天發(fā)射場發(fā)射升空．由長征運載火箭將飛船送入近地點為A、遠地點為B的橢圓軌道上，A點距地面的高度為h₁，飛船飛行五周后進行變軌，進入預(yù)定圓軌道，如圖所示．在預(yù)定圓軌道上飛行n圈所用時間為t，于10月17日凌晨在內(nèi)蒙古草原成功返回．已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R．求：
（1）遠地點B距地面的高度h₂．
（2）沿著橢圓軌道從A到B的最短時間．（用h₁、h₂、R、g表示）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力，

GMm

r2

=mr(

2π

T

)2，已知周期，求出軌道半徑，從而求出高度．
（2）根據(jù)開普勒第三定律

R3

T2

=C，求出橢圓軌道的周期．

解答：解：（1）飛船在B點所受的萬有引力提供向心力：

GMm

r2

=mr(

2π

T

)2，
T=

t

n

所以：r=

3	GMt2 4π2n2

由黃金代換式GM=gR²，r=

3	gR2t2 4π2n2

所以：h2=

3	gR2t2 4π2n2

-R
故遠地點B距地面的高度為．
（2）橢圓軌道的半長軸：R′=

r+R+h1

2

根據(jù)開普勒第三定律

R′3

T′2

=

r3

T2

聯(lián)立以上幾個公式解得：T′= 

R′3T2 r2

=2π

(2R+h1+h2)3 8gR2

所以沿著橢圓軌道從A到B的時間t′=

T′

2

=π

(2R+h1+h2)3 8gR2

答：（1）遠地點B距地面的高度h2=

3	gR2t2 4π2n2

-R．
（2）沿著橢圓軌道從A到B的最短時間π

(2R+h1+h2)3 8gR2

．

點評：解決本題的關(guān)鍵掌握黃金代換式GM=gR²，萬有引力提供向心力，

GMm

r2

=mr(

2π

T

)2，以及開普勒第三定律

R3

T2

=C．