Question

如圖所示，左圖是游樂(lè)場(chǎng)中過(guò)山車的實(shí)物圖片，右圖是過(guò)山車的原理圖．在原理圖中半徑分別為R₁=2.0m和R₂=8.0m的兩個(gè)光滑圓形軌道，固定在傾角為α=37°斜軌道面上的Q、Z兩點(diǎn)，且兩圓形軌道的最高點(diǎn)A、B均與P點(diǎn)平齊，圓形軌道與斜軌道之間圓滑連接．現(xiàn)使小車（視作質(zhì)點(diǎn)）從P點(diǎn)以一定的初速度沿斜面向下運(yùn)動(dòng)．已知斜軌道面與小車間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=

1

24

．問(wèn)：（已知：g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan（

a

2

）=

sina

1+cosa

．結(jié)果可保留根號(hào)．）

（1）若小車恰好能通過(guò)第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)A處，則其在P點(diǎn)的初速度應(yīng)為多大？
（2）若小車在P點(diǎn)的初速度為10m/s，則小車能否安全通過(guò)兩個(gè)圓形軌道？

Answer 1

分析：（1）小車恰好能通過(guò)第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)A處時(shí)，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的速度．由幾何知識(shí)求出P、Q間的距離S_PQ，運(yùn)用動(dòng)能定理研究小球從P到A的過(guò)程，求解P點(diǎn)的初速度．
（2）首先根據(jù)小車在P點(diǎn)的初速度10m/s，與第一問(wèn)中v₀比較，分析小車能否安全通過(guò)圓弧軌道O₁．若小車恰能通過(guò)B點(diǎn)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律列方程，求出小車通過(guò)B點(diǎn)的臨界速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出小車在P點(diǎn)的臨界速度，再確定小車能否安全通過(guò)兩個(gè)圓形軌道．

解答：解：（1）小車恰好過(guò)A點(diǎn)，由牛頓第二定律有
     mg=m

v 2 A

R1

小球P到A的過(guò)程中，由動(dòng)能定理有
-μmgcosα?S_PQ=

1

2

m

v

2 A

-

1

2

m

v

2 0

由幾何關(guān)系可得  S_PQ=

R1(1+cosα)

sinα

代入數(shù)據(jù)可得 v₀=2

6

m/s              
（2）小車以v=10m/s的初速度從P點(diǎn)下滑時(shí)，因?yàn)橛衯=10m/s＞v₀=2

6

m/s
所以小車可以通過(guò)圓弧軌道O₁，設(shè)小車恰好能通過(guò)B點(diǎn)，
由牛頓第二定律有 mg=m

v 2 B

R2

                            
則P到B由動(dòng)能定理得 
-μmgcosα?S_PZ=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 P

          
其中  S_PZ=

R2(1+cosα)

sinα

                                    
代入數(shù)據(jù)可得   v_P=

96

m/s                                 
因?yàn)関_P=

96

m/s＜10m/s，所以小車能安全通過(guò)兩個(gè)圓形軌道．
答：
（1）若小車恰好能通過(guò)第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)A處，則其在P點(diǎn)的初速度應(yīng)為2

6

m/s；
（2）若小車在P點(diǎn)的初速度為10m/s，小車能安全通過(guò)兩個(gè)圓形軌道．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于物體在豎直平面內(nèi)光滑圓軌道最高點(diǎn)的臨界速度v=

gr

，要在理解的基礎(chǔ)上加強(qiáng)記憶，圓周運(yùn)動(dòng)往往與動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒等進(jìn)行綜合．本題難點(diǎn)在于運(yùn)用幾何知識(shí)求距離．中等難度．