Question

如圖甲所示，BCD為豎直放置的半徑R=0.20m的半圓形軌道，在半圓形軌道的最低位置B和最高位置D均安裝了壓力傳感器，可測(cè)定小物塊通過這兩處時(shí)對(duì)軌道的壓力FB和FD。半圓形軌道在B位置與水平直軌道AB平滑連接，在D位置與另一水平直軌道EF相對(duì)，其間留有可讓小物塊通過的縫隙。一質(zhì)量m=0.20kg的小物塊P（可視為質(zhì)點(diǎn)），以不同的初速度從M點(diǎn)沿水平直軌道AB滑行一段距離，進(jìn)入半圓形軌道BCD經(jīng)過D位置后平滑進(jìn)入水平直軌道EF。一質(zhì)量為2m的小物塊Q（可視為質(zhì)點(diǎn)）被鎖定在水平直軌道EF上，其右側(cè)固定一個(gè)勁度系數(shù)為k=500N/m的輕彈簧。如果對(duì)小物塊Q施加的水平力F≥30N，則它會(huì)瞬間解除鎖定沿水平直軌道EF滑行，且在解除鎖定的過程中無能量損失。已知彈簧的彈性勢(shì)能公式,其中k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量。g取10m/s2。

（1）通過傳感器測(cè)得的FB和FD的關(guān)系圖線如圖乙所示。若軌道各處均不光滑，且已知軌道與小物塊P之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.10，MB之間的距離xMB=0.50m。當(dāng) FB=18N時(shí)，求：

①小物塊P通過B位置時(shí)的速度vB的大小；

②小物塊P從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到軌道最高位置D的過程中損失的總機(jī)械能；

（2）若軌道各處均光滑，在某次實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得P經(jīng)過B位置時(shí)的速度大小為m/s。求在彈簧被壓縮的過程中，彈簧的最大彈性勢(shì)能。

Answer 1

（1）①4.0m/s②0.50J （2）1.37J

【解析】

試題分析：（1）①設(shè)小物塊P在B、D兩位置受軌道彈力大小分別為NB、ND，速度大小分別為vB、vD。

根據(jù)牛頓第三定律可知

小物塊P通過B位置時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有

解得：vB=4.0m/s

②小物塊P從M到B所損失的機(jī)械能為：ΔE1=μmgxMB=0.10J

小物塊P通過D位置時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有

解得：vD=2.0m/s

小物塊P由B位置運(yùn)動(dòng)到D位置的過程中，克服摩擦力做功為Wf，

根據(jù)動(dòng)能定理有－

解得：Wf=0.40J

小物塊P從B至D的過程中所損失的機(jī)械能ΔE2=0.40J

小物塊P從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)D的過程中所損失的機(jī)械能ΔE=0.50J

（2）在軌道各處均光滑的情況下，設(shè)小物塊P運(yùn)動(dòng)至B、D位置速度大小分別為vB′、vD′。

根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：

解得：vD′=4.0m/s

小物塊P向小物塊Q運(yùn)動(dòng)，將壓縮彈簧，當(dāng)彈簧的壓縮量x=F/k時(shí)，小物塊Q恰好解除鎖定。設(shè)小物塊P以vx速度大小開始?jí)嚎s彈簧，當(dāng)其動(dòng)能減為零時(shí)，剛好使小物塊Q解除鎖定。

根據(jù)能量守恒有

解得：vx=3.0m/s

由于vD′＞vx，因此小物塊Q被解除鎖定后，小物塊P的速度不為零，設(shè)其速度大小為，

根據(jù)能量守恒有

解得：vP=m/s

當(dāng)小物塊Q解除鎖定后，P、Q以及彈簧組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，當(dāng)兩者速度相等時(shí)，彈簧的壓縮量最大。

根據(jù)動(dòng)量守恒定律有：

彈簧的最大彈性勢(shì)能J

考點(diǎn)：動(dòng)量守恒定律；能量守恒；牛頓第二定律。