Question

15．如圖所示，傾角θ=37°、高為h的斜面固定在水平地面上．小球從高為H（h＜H＜$\frac{13}{9}h$）處自由下落，總能與斜面上的特定小裝置做無能量損失的碰撞后，水平拋出．小球自由下落到斜面上的落點距斜面左側(cè)的水平距離x滿足一定條件時，小球能直接落到水平地面．已知cos37°=$\frac{4}{5}$，sin37°=$\frac{3}{5}$，忽略空氣阻力．
（1）求小球落到水平地面時的速度大�。�
（2）要使小球做平拋運動后能直接落到水平地面，求x應滿足的條件．
（3）在滿足（2）的條件下，求小球運動最長時間．

Answer 1

分析 （1）由于小球與斜面碰撞無能量損失，自由下落和平拋運動機械能也守恒，所以小球整個運動過程中機械能守恒，據(jù)此列式求解小球落到地面上的速度大小；
（2）小球與斜面碰撞后做平拋運動，當正好落在斜面底端時，x最小，根據(jù)平拋運動的基本公式結(jié)合幾何關(guān)系、動能定理求出x的最小值，而x的最大值即為h，從而求出x的范圍；
（3）根據(jù)豎直方向做自由落體運動，由運動學公式列出總時間的表達式，再由數(shù)學知識求解最長的時間．

解答 解：（1）設小球落到水平地面時的速度為v，由機械能守恒得，
mgH=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得v=$\sqrt{2gH}$．
（2）小球自由下落的落點距斜面左側(cè)的水平距離x時，設小球做自由落體運動的末速度為v₀，由運動學公式得，
${{v}_{0}}^{2}=2g（H-h+\frac{3}{4}x）$，
設小球做平拋運動落到水平地面所用的時間為t，由平拋運動規(guī)律得，
$h-\frac{3}{4}x=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
s=v₀t，
聯(lián)立解得s=$2\sqrt{（H-h+\frac{3}{4}x）（h-\frac{3}{4}x）}$．
由題意得，使小球做平拋運動后能直接落到水平地面，應有：
s$＞\frac{4}{3}h-x$，
解得$\frac{4}{3}h＞x＞（\frac{4}{3}h-\frac{12}{13}H）$．
（3）小球自由下落的落點距斜面左側(cè)的水平距離x時，設小球做自由落體所用時間為t₀，由運動學公式得，
$（H-h+\frac{3}{4}x）=\frac{1}{2}g{{t}_{0}}^{2}$．
設小球由釋放到落到水平地面運動的時間為t_總，則
t_總=t₀+t，
解得${t}_{總}=\sqrt{\frac{2（H-h+\frac{3}{4}x）}{g}}+\sqrt{\frac{2（h-\frac{3}{4}x）}{g}}$，
整理得，${{t}_{總}}^{2}=\frac{2H}{g}+\frac{4\sqrt{（H-h+\frac{3}{4}x）（h-\frac{3}{4}x）}}{g}$，
由上式可知，當H-h+$\frac{3}{4}x$=h-$\frac{3}{4}x$，即x=$\frac{2}{3}（2h-H）$時，小球運動時間最長，設為t_m，
則${t}_{m}=2\sqrt{\frac{H}{g}}$．
答：（1）小球落到水平地面時的速度大小為$\sqrt{2gh}$．
（2）x應滿足的條件為$\frac{4}{3}h＞x＞（\frac{4}{3}h-\frac{12}{13}H）$．
（3）小球運動最長時間為$2\sqrt{\frac{H}{g}}$．

點評 本題是機械能守恒與自由落體運動、平拋運動的綜合，既要把握每個過程的物理規(guī)律，更要抓住它們之間的聯(lián)系，比如幾何關(guān)系，運用數(shù)學上函數(shù)法求解極值．