Question

5．已知萬有引力常量G，地球半徑R，月球和地球之間的距離r，同步衛(wèi)星距地面的高度h，月球繞地球的運轉周期T₁，地球的自轉周期T₂，地球表面的重力加速度g．某同學根據(jù)以上條件，提出一種估算地球質量M的方法：
同步衛(wèi)星繞地球作圓周運動，由G$\frac{Mm}{h^2}=m{（{\frac{2π}{T}}）^2}$h得M=$\frac{{4{π^2}{h^3}}}{{G{T^2}}}$
（1）請判斷上面的結果是否正確，并說明理由．如不正確，請給出正確的解法和結果．
（2）請根據(jù)已知條件再提出兩種估算地球質量的方法并解得結果．
（3）已知一個近地衛(wèi)星周期為T，求地球的密度表達式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力，列式求解，同步衛(wèi)星離地面的高度較大，不能忽略；
（2）對月球或地球應用萬有引力提供向心力，也可根據(jù)在地球表面重力等于向心力求解．
（3）近地衛(wèi)星的軌道半徑等于地球的半徑，根據(jù)密度公式求出地球的密度；

解答 解：（1）上面結果是錯誤的，同步衛(wèi)星離地面的高度h在計算過程中不能忽略．
確的解法和結果是：$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m{（\frac{2π}{T}）^2}（R+h）$…①
得：$M=\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{GT_2^2}$…②
（2）方法一：對月球繞地球作圓周運動，由$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}r$
得$M=\frac{{4{π^2}{r^3}}}{GT_2^2}$…③
方法二：在地面重力近似等于萬有引力，由$G\frac{Mm}{R^2}=mg$
得$M=\frac{{g{R^2}}}{G}$…④
（3）地球的近地衛(wèi)星，軌道半徑等于地球半徑，根據(jù)萬有引力等于向心力有
$G\frac{M{m}_{\;}^{\;}}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
得地球質量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
地球體積$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$
地求密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$
答：（1）上面結果是錯誤的，地球的半徑R在計算過程中不能忽略，正確解法和結果如上所述．
（2）請根據(jù)已知條件再提出兩種估算地球質量的方法如上所述
（3）地球的密度為$\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$

點評 本題關鍵抓住萬有引力提供向心力和在地球表面重力等于萬有引力這兩個關系，并能根據(jù)題意選擇恰當?shù)南蛐牧Φ谋磉_式．