Question

2．如圖所示，傾角為37°的粗糙斜面AB底端與半徑R=0.4m的光滑半圓軌道BC平滑相連，O為軌道圓心，BC為圓軌道直徑且處于豎直方向，A、C兩點等高．質(zhì)量m=1kg的滑塊從A點由靜止開始下滑，恰能滑到與O等高的D點，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求滑塊與斜面間的動摩擦因數(shù)μ；
（2）若使滑塊能到達C點，求滑塊從A點沿斜面滑下時的初速度v₀的最小值；
（3）若滑塊離開C處的速度大小為4m/s，求滑塊從C點飛出至落到斜面上的時間t；
（4）改變A的初速度v₀，通過計算判斷從最高點飛出的滑塊能否垂直打到斜面上．

Answer 1

分析 （1）由題，滑塊恰能滑到與O等高的D點，速度為零，對A到D過程，運用動能定理列式可求出動摩擦因數(shù)μ；
（2）滑塊恰好能到達C點時，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式可得到C點的速度范圍，再對A到C過程，運用動能定理求初速度v₀的最小值；
（3）離開C點做平拋運動，由平拋運動的規(guī)律和幾何知識結(jié)合求時間；
（4）找出物塊恰好能垂直打到斜面上時C點速度的值，再與豎直平面內(nèi)做圓周運動能通過C的臨界速度$\sqrt{gR}$做比較，即可分析出滑塊能否垂直打到斜面上．

解答 解：（1）滑塊由A到D過程，根據(jù)動能定理，有：mgR-μmgcos37°•$\frac{2R}{sin37°}$=0
代入數(shù)據(jù)解得：μ=$\frac{1}{2}$tan37°=0.375
（2）若使滑塊能到達C點，根據(jù)牛頓第二定律有：${F_N}+mg=m\frac{v_c^2}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：${v_c}≥\sqrt{gR}=2m/s$
從A到C的過程列動能定理有：$-μmgcos{37^0}×\frac{2R}{{sin{{37}^0}}}=\frac{1}{2}mv_c^2-\frac{1}{2}mv_0^2$
代入數(shù)據(jù)解得：${v_0}=\sqrt{v_c^2+2gR}≥2\sqrt{3}m/s$
所以初速度v₀的最小值為$2\sqrt{3}$m/s
（3）滑塊離開C后做平拋運動，水平方向：x=v_ct，豎直方向上有：$h=\frac{1}{2}g{t^2}$
水平豎直位移間的關(guān)系為：tan37°=$\frac{2R-y}{x}$
代入得：5t²+3t-0.8=0
解得：t=0.2s
（4）根據(jù)速度偏向角公式有：$tan{37^0}=\frac{v_0}{gt}$
根據(jù)幾何關(guān)系可得：$tan{37^0}=\frac{{2R-\frac{1}{2}g{t^2}}}{{{v_0}t}}$
兩式聯(lián)立，解得：${v_0}=\sqrt{\frac{18}{17}gR}$
根據(jù)豎直平面內(nèi)做圓周運動的極限條件有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$
可知物塊要過圓周運動的最高點C點，速度需滿足：v_c≥$\sqrt{gR}$
因為：${v_0}=\sqrt{\frac{18}{17}gR}$＞$\sqrt{gR}$，故改變A的初速度v₀，小球可以垂直打到斜面上．
答：（1）滑塊與斜面間的動摩擦因數(shù)μ為0.375；
（2）若使滑塊能到達C點，滑塊從A點沿斜面滑下時的初速度v₀的最小值為$2\sqrt{3}$m/s；
（3）若滑塊離開C處的速度大小為4m/s，滑塊從C點飛出至落到斜面上的時間t為0.2s；
（4）改變A的初速度v₀，從最高點飛出的滑塊能垂直打到斜面上．

點評 本題考查動能定理與向心力、平拋運動及幾何知識的綜合運用，要注意挖掘隱含的臨界條件，熟練掌握平拋運動速度偏向角與位移偏向角公式得運用．