Question

【題目】如圖，一個(gè)半徑為R的半球形的碗固定在桌面上，碗口水平，O點(diǎn)為其球心，碗的內(nèi)表面及碗口是光滑的．一根輕質(zhì)細(xì)線(xiàn)跨在碗口上，線(xiàn)的兩端分別系有小球A和B ， 當(dāng)它們處于平衡狀態(tài)時(shí)，小球A與O點(diǎn)的連線(xiàn)與水平線(xiàn)的夾角為60°．

（1）求小球A與小球B的質(zhì)量比mA：mB
（2）現(xiàn)將A球質(zhì)量改為2m、B球質(zhì)量改為m ， 且開(kāi)始時(shí)A球位于碗口C點(diǎn)，由靜止沿碗下滑，當(dāng)A球滑到碗底時(shí)，求兩球總的重力勢(shì)能改變量；（B球未碰到碗壁）
（3）在（2）條件下，當(dāng)A球滑到碗底時(shí)，求B球的速度大小．

Answer 1

【答案】
（1）

設(shè)繩的張力為T，對(duì)A球進(jìn)行受力分析，有:

Nsin60°+Tsin60°=mAg

Ncos60°=Tcos60°

對(duì)B球進(jìn)行受力分析，有 T=mBg

可解得：

（2）

A球的重力勢(shì)能改變量為△EpA=﹣mAgR=﹣2mgR，

B兩球的重力勢(shì)能改變量為

所以A、B兩球總的重力勢(shì)能改變量為

（3）

當(dāng)A球滑到碗底時(shí)，設(shè)A、B兩球的速度分別為vA、vB，則vAcos45°=vB （1）

根據(jù)A、B兩球總機(jī)械能守恒，有△EK+△Ep=0 （2）

即 （3）

聯(lián)立以上三式，解得： （或 或 ）

【解析】（1）設(shè)繩的張力為T ， 對(duì)A球進(jìn)行受力分析，有:
Nsin60°+Tsin60°=mAg
Ncos60°=Tcos60°
對(duì)B球進(jìn)行受力分析，有 T=mBg
可解得： （2）A球的重力勢(shì)能改變量為△EpA=﹣mAgR=﹣2mgR
B兩球的重力勢(shì)能改變量為
所以A、B兩球總的重力勢(shì)能改變量為 （3）當(dāng)A球滑到碗底時(shí)，設(shè)A、B兩球的速度分別為vA、vB ， 則vAcos45°=vB（1）
根據(jù)A、B兩球總機(jī)械能守恒，有△EK+△Ep=0 （2）
即 （3）
聯(lián)立以上三式，解得： （或 或 ）