Question

做特技表演的小汽車(chē)速度足夠大時(shí)，會(huì)在駛過(guò)拱形橋的頂端時(shí)直接水平飛出．為了探討這個(gè)問(wèn)題，小明等同學(xué)做了如下研究：如圖所示，在水平地面上固定放置球心為O、半徑為R的光滑半球，在半球頂端B的上方，固定連接一個(gè)傾角θ=30°的光滑斜面軌道，斜面頂端A離B的高度為

R

2

，斜面的末端通過(guò)技術(shù)處理后與半球頂端B水平相接．小明由A點(diǎn)靜止滑下并落到地面上（有保護(hù)墊）．甲、乙兩位同學(xué)對(duì)小明的運(yùn)動(dòng)有不同的看法，甲同學(xué)認(rèn)為小明將沿半球表面做一段圓周運(yùn)動(dòng)后落至地面，乙同學(xué)則認(rèn)為小明將從B點(diǎn)開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)落至地面．（為簡(jiǎn)化問(wèn)題可將小明視為質(zhì)點(diǎn)，忽略連接處的能量損失）
（1）請(qǐng)你求出小明滑到B點(diǎn)時(shí)受到球面的支持力并判斷上述哪位同學(xué)的觀點(diǎn)正確；
（2）若軌道的動(dòng)摩擦因素μ=

3

2

，小明在A點(diǎn)以v₀速度下滑時(shí)恰好能夠從半球頂端B水平飛出落在水平地面上的C點(diǎn)（圖中未標(biāo)出），求速度v₀的大小及O、C間的距離x_OC．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒條件的判定與定律內(nèi)容，結(jié)合牛頓第二定律，即可求解；
（2）根據(jù)小明恰好能從B點(diǎn)開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)落地，可求出B點(diǎn)速度，再由動(dòng)能定理與平拋運(yùn)動(dòng)處理規(guī)律，即可求解．

解答：解：（1）設(shè)小明滑到B點(diǎn)時(shí)速度為v_B，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：mg

R

2

=

1

2

mvB2
解得：vB=

gR

在B點(diǎn)，由牛頓第二定律：mg-N=m

v 2 B

R

解得：N=0
可見(jiàn)乙同學(xué)的觀點(diǎn)正確．
（2）由（1）可知小明恰好能從B點(diǎn)開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)落地，
須有：vB=

gR

則小明在斜面軌道下滑的過(guò)程中，
由動(dòng)能定理：mg

R

2

-μmgcosθ

R 2

sinθ

=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 0

將v_B代入數(shù)據(jù)解得：v0=

6gR

2

又平拋時(shí)間為：t=

2R g

∴OC之間的距離為：xOC=vt=

gR

×

2R g

=

2

R
答：（1）小明滑到B點(diǎn)時(shí)受到球面的支持力為零，乙同學(xué)的觀點(diǎn)正確；
（2）則速度v₀的大小及O、C間的距離x_OC=

2

R．

點(diǎn)評(píng)：考查機(jī)械能守恒條件的判定與內(nèi)容的應(yīng)用，掌握動(dòng)能定理的運(yùn)用，注意功的正負(fù)值，同時(shí)掌握牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的綜合運(yùn)用，及理解平拋運(yùn)動(dòng)的處理方法．