Question

8．如圖所示，長為l的繩子下端連著質量為m的小球，上端懸于天花板上，把繩子拉直，繩子與豎直線夾角為30°，此時小球靜止于光滑的水平桌面上．問：
（1）當球以ω=$\sqrt{\frac{g}{l}}$作圓錐擺運動時，繩子張力及桌面受到壓力各為多大？
（2）當球以ω=$\sqrt{\frac{4g}{l}}$作圓錐擺運動時，繩子張力及桌面受到壓力各為多大？

Answer 1

分析 當小球對桌面無壓力，靠重力和拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出圓錐擺的角速度．結合圓錐擺的角速度判斷小球是否離開桌面，再結合水平方向上合力提供向心力，豎直方向上合力為零求解拉力和支持力的大�。�

解答 解：（1）當壓力為零時，根據(jù)$mgtan30°=mlsin30°{{ω}_{0}}^{2}$得：
${ω}_{0}=\sqrt{\frac{g}{lcos30°}}=\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}•\frac{g}{l}}$，
當ω=$\sqrt{\frac{g}{l}}$＜ω₀時，可知小球未離開桌面，根據(jù)牛頓第二定律得：
Tsinθ=mlsinθω²，
解得拉力為：T=mg，
在豎直方向上，有：Tcos30°+N=mg，
解得支持力N=$mg-Tcos30°=（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）mg$．
根據(jù)牛頓第三定律知，桌面受到的壓力大小為$（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）mg$．
（2）當ω=$\sqrt{\frac{4g}{l}}$＞ω₀時，小球離開桌面，此時桌面受到的壓力為零，
根據(jù)牛頓第二定律得，T′sinα=mlsinαω²，
解得拉力T′=4mg．
答：（1）當球以ω=$\sqrt{\frac{g}{l}}$作圓錐擺運動時，繩子張力為mg，壓力為$（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）mg$．
（2）當球以ω=$\sqrt{\frac{4g}{l}}$作圓錐擺運動時，繩子的張力為4mg，壓力為0．

點評 解決本題的關鍵通過牛頓第二定律得出小球對桌面的壓力為零時的臨界角速度，判斷小球是否離開桌面．知道小球靠水平方向上的合力提供向心力，豎直方向上的合力為零．