Question

18．兩根平行導(dǎo)軌，寬度L=0.5m，左邊水平，右邊是在豎直面的半圓軌道，半徑R₀=0.5m，左邊現(xiàn)有一質(zhì)量m=0.20kg、電阻r=0.10Ω的導(dǎo)體桿ab靜止在距磁場(chǎng)的左邊界s=2.0m處．在與桿垂直的水平恒力F=2.0N的作用下ab桿開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)至磁場(chǎng)的左邊界時(shí)撤去F，結(jié)果導(dǎo)體桿ab恰好能以最小速度通過(guò)半圓形軌道的最高點(diǎn)PP′．已知導(dǎo)體桿ab在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與軌道接觸良好，且始終與軌道垂直，導(dǎo)體桿ab與水平直軌道之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.10，與半圓導(dǎo)軌間摩擦可忽略．軌道的電阻可忽略不計(jì)，B=0.6T，電阻R=0.4Ω，磁場(chǎng)長(zhǎng)度d=1.0m．取g=10m/s²，（保留兩位小數(shù)）

求：（1）導(dǎo)體桿剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度V₁；
（2）導(dǎo)體桿剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，通過(guò)導(dǎo)體桿上的電流大小和方向；
（3）導(dǎo)體桿穿過(guò)磁場(chǎng)的過(guò)程中通過(guò)電阻R上的電荷量q；
（4）桿出磁場(chǎng)瞬間速度V₂，和在半圓軌道最高點(diǎn)速度V₃；
（5）導(dǎo)體桿穿過(guò)磁場(chǎng)的過(guò)程中整個(gè)電路中產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1、2）先有動(dòng)能定理求出進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)金屬桿切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電流．由法拉第定律和歐姆定律可求得感應(yīng)電流大小，由右手定則判斷出感應(yīng)電流方向；
（3）設(shè)導(dǎo)體桿在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，求出產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的平均值，根據(jù)歐姆定律求出電流的平均值，進(jìn)而求出電量；
（4）由牛頓第二定律求出導(dǎo)體桿到達(dá)軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度，由機(jī)械能守恒定律求出金屬桿穿出磁場(chǎng)時(shí)的速度；
（5）回路中機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求出電路中產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）設(shè)導(dǎo)體桿在F的作用下運(yùn)動(dòng)至磁場(chǎng)的左邊界時(shí)的速度為v₁，
由動(dòng)能定理得：（F-μmg）s=$\frac{1}{2}$mv₁²-0，
解得：v₁=6m/s
（2）導(dǎo)桿剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=Blv₁，
此時(shí)通過(guò)導(dǎo)體桿的電流大小為：I=$\frac{E}{R+r}$，
代入數(shù)據(jù)解得：I=3.6A，
由右手定則可知，電流的方向?yàn)橛蒪指向a；
（3）設(shè)導(dǎo)體桿在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的平均值為$\overline{E}$，
則由法拉第電磁感應(yīng)定律有 $\overline{E}=\frac{△∅}{t}=\frac{BLd}{t}$
通過(guò)電阻 R 的感應(yīng)電流的平均值為$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}$
通過(guò)電阻 R 的電荷量 q=$\overline{I}t$=0.6C
（4）設(shè)導(dǎo)體離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度為v₂，運(yùn)動(dòng)到圓軌道最高點(diǎn)的速度為v₃，
因?qū)�桿恰好能以最小速度通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)，由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{{{v}_{3}}^{2}}{{R}_{0}}$，
解得：v₃=$\sqrt{5}$m/s
導(dǎo)體桿從MN′到PP′的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₃²+mg•2R₀，
解得 v₂=5.0m/s；
（5）由能量守恒定律得：導(dǎo)體桿穿過(guò)磁場(chǎng)的過(guò)程中損失的機(jī)械能：△E=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₂²，
導(dǎo)體桿穿過(guò)磁場(chǎng)的過(guò)程中整個(gè)電路產(chǎn)生的焦耳熱為：Q=△E-μmgd，
解得：Q=0.94J；
答：（1）導(dǎo)體桿剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度為6m/s；
（2）導(dǎo)體桿剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，通過(guò)導(dǎo)體桿上的電流大小為3.6A，方向由b指向a；
（3）導(dǎo)體桿穿過(guò)磁場(chǎng)的過(guò)程中通過(guò)電阻R上的電荷量為0.6C；
（4）桿出磁場(chǎng)瞬間速度為5.0m/s，在半圓軌道最高點(diǎn)速度為$\sqrt{5}$m/s；
（5）導(dǎo)體桿穿過(guò)磁場(chǎng)的過(guò)程中整個(gè)電路中產(chǎn)生的焦耳熱為0.94J．

點(diǎn)評(píng) 本題首先要分析導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，分三個(gè)子過(guò)程進(jìn)行研究；其次要掌握三個(gè)過(guò)程遵守的規(guī)律，運(yùn)用動(dòng)能定理、能量守恒、牛頓第二定律、機(jī)械能守恒等聯(lián)合求解．