Question

4．如圖甲所示，豎直平行放置的金屬板A、B的電壓為U₀，中心各有一個(gè)小孔P、Q．水平平行放置的金屬板C、D間電壓的變化規(guī)律如圖乙所示，板長(zhǎng)和板間距均為L(zhǎng)，粒子的接收屏M與D板間夾角為127°，現(xiàn)從P點(diǎn)處連續(xù)不斷的有質(zhì)量為m，帶電量為+q的粒子放出（粒子的初速度可忽略不計(jì)），經(jīng)加速電場(chǎng)AB加速后從Q點(diǎn)水平射出，緊貼著C板的下側(cè)并平行C板射入C、D板間的勻強(qiáng)電場(chǎng)（邊緣外沒有電場(chǎng)），經(jīng)過一個(gè)周期后，粒子恰好通過C、D間的電場(chǎng)，不計(jì)粒子間的相互作用力，重力不計(jì)，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）金屬板C、D板間所加電壓變化的周期為多少？
（2）若粒子在t=0時(shí)刻進(jìn)入C、D之間的電場(chǎng)，并且恰好從D板的最右邊緣飛出，那么，從D板右邊緣飛出的粒子的速度是多少？
（3）要使在t=$\frac{T}{2}$時(shí)刻進(jìn)入C、D間的粒子垂直打在電場(chǎng)外的M屏上，可在金屬板C、D的右邊緣外的某個(gè)區(qū)域內(nèi)加一個(gè)垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要求該磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小，如果該磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，那么，該圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積是多少？

Answer 1

分析 （1）先由動(dòng)能定理求出電場(chǎng)加速獲得的速度．粒子進(jìn)入CD間，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由L=v₀T求解T．
（2）若在t=0時(shí)刻進(jìn)入C、D間電場(chǎng)的粒子恰從D板邊緣飛出，粒子在CD間先做類平拋運(yùn)動(dòng)，后沿速度方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求解．
（3）在t=$\frac{1}{2}$T時(shí)刻進(jìn)入C、D間的粒子，豎直分位移最小，由位移公式求出豎直分位移最小值，并由幾何關(guān)系得到粒子束的寬度．粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由數(shù)學(xué)知識(shí)求得軌道半徑，從而由牛頓第二定律可求得B．由幾何知識(shí)求解磁場(chǎng)的最小面積S_min．

解答 解：（1）電場(chǎng)加速過程，有：qU₀=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$       
粒子在C、D間運(yùn)動(dòng)過程，有：L=v₀T         
解得：T=$L\sqrt{\frac{m}{2q{U}_{0}}}$
（2）粒子在C、D間電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度：a=$\frac{qU}{mL}$              
在t=$\frac{1}{2}$T時(shí)刻豎直分速度：v_y=a$•\frac{T}{2}$                  
豎直位移為：L=$\frac{0+{v}_{y}}{2}•\frac{T}{2}+{v}_{y}•\frac{T}{2}$       
解得：U=$\frac{16}{3}{U}_{0}$                      
射出時(shí)速度方向與射入方向間的夾角：tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
解得：tanα=$\frac{4}{3}$，α=53°          
射出時(shí)速度的大小為：v=$\frac{{v}_{0}}{cos53°}=\frac{5}{3}•\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$   
（3）在t=$\frac{1}{2}$T時(shí)刻進(jìn)入C、D間的粒子，有：y_min=$\frac{0+{v}_{y}}{2}•\frac{T}{2}=\frac{1}{3}L$     
其速度大小和方向與t=0時(shí)刻進(jìn)入的粒子相同，平行于M板，粒子束的寬度為：
d=$\frac{2L}{3}cos53°=\frac{2L}{5}$                    
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
粒子在磁場(chǎng)中的半徑為：r=d=$\frac{2}{5}L$                       
解得：B=$\frac{25}{6l}\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$  
最小的磁場(chǎng)的半徑：$R=\frac{1}{2}\sqrt{2hlfo4uz^{2}}$
最小面積為：S_min=πR²=$\frac{2{πL}^{2}}{25}$
答：（1）T 與上述物理量之間應(yīng)滿足的關(guān)系是T=$L\sqrt{\frac{m}{2q{U}_{0}}}$；
（2）U為$\frac{16}{3}{U}_{0}$，此粒子射出時(shí)的速度v大小為$\frac{5}{3}•\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$，方向與射入方向間的夾角為53°．
（3）磁場(chǎng)的最小面積為$\frac{2{πL}^{2}}{25}$

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況，確定出臨界條件，運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律結(jié)合進(jìn)行求解．