Question

如圖甲所示，CD為半徑r=1.8m的光滑絕緣圓弧軌道，其所對(duì)應(yīng)的圓心角θ=90°，軌道末端水平．木板B長L=10m、質(zhì)量M=1.2kg，靜止放置在粗糙水平地面MN上，左端位于M點(diǎn)，上表面與CD軌道末端相切．PQ左側(cè)為勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀=1T，方向垂直紙面向外．PQ右側(cè)為勻強(qiáng)電場區(qū)域，電場強(qiáng)度隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖乙所示，規(guī)定電場方向豎直向下為正方向．一質(zhì)量m=1kg、帶電量q=+0.1C的滑塊A在某一時(shí)刻由C點(diǎn)靜止釋放．已知滑塊A與木板B之間的動(dòng)摩擦因素μ₁=0.5，木板B與水平地面之間的動(dòng)摩擦因素μ₂=0.2，可將滑塊視為質(zhì)點(diǎn)，g取10m/s²．求：
（1）滑塊A滑至圓弧軌道最低點(diǎn)時(shí)的速度大小和此時(shí)滑塊A對(duì)軌道的壓力．
（2）若滑塊A在t=0時(shí)進(jìn)入電場區(qū)域，滑塊A最終靜止時(shí)離D點(diǎn)的距離．
（3）若滑塊A在t=2s時(shí)進(jìn)入電場區(qū)域，滑塊A最終靜止時(shí)離D點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析：（1）小物塊從C處運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒．根據(jù)機(jī)械能守恒，得出小物塊滑到D點(diǎn)時(shí)的速度大小v．
（2）先求滑塊與木板的摩擦力和木板與地面的摩擦力，判斷出木板不動(dòng)，應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)求解．
（3）滑塊在周期性變化的電場中做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)求每個(gè)運(yùn)動(dòng)過程的加速度，速度，位移，最后加和．

解答：解：（1）從C到D，物體機(jī)械能守恒：mgr=

1

2

mV2
解得：V=

2gr

=6m/s
由向心力公式知：N-mg-qVB=

mV2

r

解得：N=30.6N，方向豎直向上，
由牛頓第三定律知對(duì)軌道的壓力為30.6N，方向豎直向下
（2）A與B間的摩擦力：f₁=μ₁（mg-qE）=2N
B與水平面間的摩擦力：f₂=μ₂（mg+Mg-qE）=3.2N
f₁＜f₂，所以木板不動(dòng)：a=

f1

m

=2m/S2
滑塊靜止用時(shí)：t=

V

a

=3s，電場方向恰好未改變，
滑行距離：S=

V2

2a

=9m＜L，未從木板滑落
所以A靜止時(shí)離D的距離為9m
（3）從2S到3S過程中，滑塊加速度：a=2m/s²，
3S時(shí)滑塊速度：V₁=V-at₁=4m/s
此過程中滑塊的位移：S1=

1

2

(V+V1)t1=5m
此后電場反向：f₁′=μ₁（mg+qE）=8N
f₂′=μ₂（Mg+mg+qE）=5.6N
所以木板加速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)AB的加速度分別為：a1=

f1′

m

=8m/S2
a2=

f1′-f2′

M

=2m/S2
速度相等用時(shí)t₂：V₁-a₁t₂=a₂t₂
解得：t₂=0.4S
共同速度：v₂=a₂t₂=0.8m/s
此過程中位移：S2=

1

2

(V1+V2)t2=0.96m
此后電場強(qiáng)度為零，二者共同減速運(yùn)動(dòng)：a′=

μ2(Mg+mg)

M+m

=2m/S2
到靜止用時(shí)：t3=

V2

a′

=0.4S
此過程位移：S3=

V 2 2

2a′

=0.16m
所以整個(gè)過程的位移：S=S₁+S₂+S₃=6.12m
答：（1）滑塊A滑至圓弧軌道最低點(diǎn)時(shí)的速度大小6m/s
此時(shí)滑塊A對(duì)軌道的壓力30.6N，方向豎直向上．
（2）若滑塊A在t=0時(shí)進(jìn)入電場區(qū)域，滑塊A最終靜止時(shí)離D點(diǎn)的距離9m．
（3）若滑塊A在t=2s時(shí)進(jìn)入電場區(qū)域，滑塊A最終靜止時(shí)離D點(diǎn)的距離6.12m．

點(diǎn)評(píng)：該題是一道綜合題，綜合運(yùn)用了機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律以及牛頓第三定律，解決本題的關(guān)鍵熟練這些定理、定律的運(yùn)用．