Question

【題目】地磁場(chǎng)可以減少宇宙射線中帶電粒子對(duì)地球上生物體的危害。為研究地磁場(chǎng)，某研究小組模擬了一個(gè)地磁場(chǎng)。如圖所示，模擬地球半徑為R,地球赤道平面附近的地磁場(chǎng)簡(jiǎn)化為赤道上方厚度為2R、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于赤道平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。磁場(chǎng)邊緣A處有一粒子源，可在赤道平面內(nèi)以不同速度向各個(gè)方向射入某種帶正電粒子。研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)粒子速度為2v時(shí)，沿半徑方向射入磁場(chǎng)的粒子恰不能到達(dá)模擬地球。不計(jì)粒子重力及大氣對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)的影響，且不考慮相對(duì)論效應(yīng)。

（1）求粒子的比荷；

（2）若該種粒子的速度為v，則這種粒子到達(dá)模擬地球的最短時(shí)間是多少？

（3）試求速度為2v的粒子到達(dá)地球粒子數(shù)與進(jìn)入地磁場(chǎng)粒子總數(shù)比值η。（結(jié)果用反三角函數(shù)表示。例：，則，θ為弧度）

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）其軌跡如圖1所示（和地球相切）設(shè)該粒子軌跡半徑為r，則根據(jù)幾何關(guān)系：①

解得②

又③

由②③得，④

（2）速度為v的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)有：⑤

由④⑤得，⑥

若要時(shí)間最短，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)最短，故從A斜向上射入，在A交點(diǎn)E到達(dá)地球的弦長(zhǎng)最短時(shí)間最短．

，故，

得：，

（3）沿徑向方向射入的粒子會(huì)和地球相切而出，和AO方向成θ角向上方射入磁場(chǎng)的粒子也恰從地球上沿相切射出，在此θ角范圍內(nèi)的粒子能到達(dá)地球，其余進(jìn)入磁場(chǎng)粒子不能到達(dá)地球．

作A點(diǎn)該速度垂直和過(guò)切點(diǎn)與O點(diǎn)連線延長(zhǎng)線交于F點(diǎn)，則F點(diǎn)為圓心，如圖3．

AF=4R，AO=OF=3R，得

故，