Question

17．2013年成功發(fā)射的“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星實(shí)現(xiàn)了軟著陸、無人探測(cè)及月夜生存三大創(chuàng)新．假設(shè)為了探測(cè)月球，載著登陸艙的探測(cè)飛船在以月球中心為圓心，半徑為r ₁的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，周期為T ₁、總質(zhì)量為m ₁．隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離月球更近的半徑為r₂的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)登陸艙的質(zhì)量為m ₂．則下列有關(guān)說法正確的是（　�。�

• A． 月球的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{G{{T}_{1}}^{2}}$
• B． 登陸艙在半徑為r ₂ 軌道上運(yùn)動(dòng)的周期T ₂=T₁$\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$
• C． 登陸艙在半徑為r₁ 與半徑為r ₂的軌道上運(yùn)動(dòng)的線速度比$\sqrt{\frac{{m}_{1}{r}_{1}}{{m}_{2}{r}_{2}}}$
• D． 月球表面的重力加速度g_n=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{{T}_{1}}^{2}}$

Answer 1

分析 1、根據(jù)萬有引力提供向心力G $\frac{M{m}_{1}^{\;}}{{r}_{1}^{2}}$=m₁ $\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}$r₁，化簡(jiǎn)可得月球的質(zhì)量M；
2、根據(jù)開普勒第三定律 $\frac{{r}_{1}^{3}}{{T}_{1}^{2}}=\frac{{r}_{2}^{3}}{{T}_{2}^{2}}$，化簡(jiǎn)可得登陸艙在半徑為r₂軌道上的周期T₂；
3、根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{M{m}_{1}^{\;}}{{r}_{1}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$得，v₁=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{1}^{\;}}}$，因此速度之比等于二次方根下半徑的反比；
4、根據(jù)牛頓第二定律m₁r₁ $\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}$=m₁a₁，化簡(jiǎn)可得向心加速度，可以判斷與月球表面的重力加速度的關(guān)系．

解答 解：A、根據(jù)$G\frac{M{m}_{1}^{\;}}{{r}_{1}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}{r}_{1}^{\;}$可得，月球的質(zhì)量M=$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、根據(jù)開普勒第三定律 $\frac{{r}_{1}^{3}}{{T}_{1}^{2}}=\frac{{r}_{2}^{3}}{{T}_{2}^{2}}$，可得${T}_{2}^{\;}={T}_{1}^{\;}\sqrt{\frac{{r}_{2}^{3}}{{r}_{1}^{3}}}$，故B項(xiàng)正確；
C、根據(jù)$G\frac{M{m}_{1}^{\;}}{{r}_{1}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$得，v₁=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{1}^{\;}}}$，同理可得，v₂=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{2}^{\;}}}$，所以 $\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}^{\;}}{{r}_{1}^{\;}}}$，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、根據(jù)${m}_{1}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}{r}_{1}^{\;}={m}_{1}^{\;}{a}_{1}^{\;}$可得，載著登陸艙的探測(cè)飛船的加速度${a}_{1}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}{r}_{1}^{\;}$，該加速度不等于星球表面的重力加速度，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題是典型的天體運(yùn)動(dòng)的問題，根據(jù)萬有引力提供向心力是解決這類問題的重要的關(guān)系，要能根據(jù)題目的要求熟練選擇不同的向心力的表達(dá)式