Question

13．如圖所示，光滑半圓形豎直軌道固定在光滑水平地面上，其半徑為r，直徑MN與水平面垂直，質(zhì)量為m的平板a置于水平面上，a右端固定一輕質(zhì)彈簧，左端P點有質(zhì)量為2m的物體b，b與彈簧自由端相距L，一質(zhì)量為m的物體，（可視為質(zhì)點）以一定的水平速度飛來，從M點進入圓軌道并恰好能夠沿豎直圓軌道運動到最低點，然后與靜止的a發(fā)生碰撞，碰后a、c粘連在一起．b將彈簧壓縮到最大壓縮量x后被彈回并停止板上的P點，已知重力加速度為g，求：
（1）物體c滑至圓軌道最低點N是的速度v；
（2）在物體c從M點開始運動直至b被彈回停在P點的過程中，a、b、c組成的系統(tǒng)機械能的變化量△E；
（3）a、b間動摩擦因數(shù)μ．

Answer 1

分析 （1）物體從M點進入圓軌道并恰好能夠沿豎直圓軌道運動到最低點，則在M點由重力提供向心力，求出初速度，從M到N的過程中，根據(jù)動能定理求出到達N點的速度；
（2）a、c碰撞的過程中，動量守恒，根據(jù)動量定律求出ac的共同速度，最終b停在a的最左端，速度與a相等，則abc三個物體速度相等，此過程中，整體不受外力，系統(tǒng)動量守恒，根據(jù)動量定律求出abc的共同速度，從而求出整個過程中損失的機械能；
（3）ac碰撞后，b在a上運動的過程中，由于摩擦力做功而使能量損失，根據(jù)能量守恒列式即可求解．

解答 解：（1）物體從M點進入圓軌道并恰好能夠沿豎直圓軌道運動到最低點，則在M點由重力提供向心力，則有：
mg=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{gr}$
從M到N的過程中，根據(jù)動能定理得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=mg•2r$
解得：$v=\sqrt{5gr}$
（2）a、c碰撞的過程中，動量守恒，則有：
mv=（m+m）v₁
解得：${v}_{1}=\frac{v}{2}$=$\frac{\sqrt{5gr}}{2}$，
最終b停在a的最左端，速度與a相等，則abc三個物體速度相等，此過程中，整體不受外力，系統(tǒng)動量守恒，則有：mv=（m+m+2m）v₂
解得：${v}_{2}=\frac{v}{4}=\frac{\sqrt{5gr}}{4}$
則整個過程中，損失的機械能為：
$△E=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}×4m×{{v}_{2}}^{2}$=$\frac{15}{8}mgr$
（3）ac碰撞后，b在a上運動的過程中，由于摩擦力做功而使能量損失，根據(jù)能量守恒得：
$2×μ2mg（L+x）=\frac{1}{2}（m+m）{{v}_{1}}^{2}-$$\frac{1}{2}（m+m+2m）{{v}_{2}}^{2}$
解得：$μ=\frac{5r}{32（L+x）}$
答：（1）物體c滑至圓軌道最低點N是的速度v為$\sqrt{5gr}$；
（2）在物體c從M點開始運動直至b被彈回停在P點的過程中，a、b、c組成的系統(tǒng)機械能的變化量△E為$\frac{15}{8}mgr$；
（3）a、b間動摩擦因數(shù)μ為$\frac{5r}{32（L+x）}$．

點評 本題綜合運用了動能定理、動量守恒定律和能量守恒定律，知道物體從M點進入圓軌道并恰好能夠沿豎直圓軌道運動到最低點，則在M點由重力提供向心力，明確、動量守恒的條件，能靈活選取研究的過程，選用適當?shù)囊?guī)律進行求解，難度適中．