Question

9．如圖所示，兩個(gè)重都為G，半徑都為r的光滑均勻小圓柱，靠放在半徑為R（R＞2r）的弧形凹面內(nèi)，處于靜止?fàn)顟B(tài)，試求凹面對(duì)小圓柱的彈力及小圓柱相互間的彈力大小．

Answer 1

分析 兩個(gè)小球置于大的弧形凹面內(nèi)，根據(jù)對(duì)稱性，小球靜止時(shí)位于弧形凹面內(nèi)的最低端且左右對(duì)稱．由幾何關(guān)系可以確定三個(gè)圓心與切點(diǎn)之間的角度關(guān)系，即求出了相應(yīng)的角度．再拿其中一個(gè)球?yàn)檠芯繉?duì)象，根據(jù)三力的平衡條件：三力的合力為零，從而求出凹面對(duì)小圓柱的彈力及小圓柱相互間的彈力大小．

解答 解：設(shè)大圓弧圓心為O₁，兩小圓柱的圓心分別為O₂、O₃，連接O₂O₃，連線必定經(jīng)過(guò)兩圓柱的切點(diǎn)，設(shè)切
  點(diǎn)為A，連接OA，令∠O₂O₁A為θ，根據(jù)幾何關(guān)系得：
   $cosθ=\frac{\sqrt{（R-r）^{2}-{r}^{2}}}{R-r}=\frac{\sqrt{（R-2r）R}}{R-r}$，$tgθ=\frac{r}{\sqrt{（R-r）R}}$．
   左邊圓柱的受力如圖1-42所示，根據(jù)平衡條件得：
       N₁cosθ=G        ①
        N₁sinθ=N₂       ②
   由①②得：${N}_{1}=\frac{G}{cosθ}=\frac{（R-r）G}{\sqrt{（R-2r）R}}$，${N}_{2}=\frac{rG}{\sqrt{（R-2r）R}}$．
答：凹面對(duì)小圓柱的彈力為$\frac{（R-r）G}{\sqrt{（R-2r）R}}$，小圓柱相互間的彈力大小為$\frac{rG}{\sqrt{（R-2r）R}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)在于找到矢量三角形的角度，根據(jù)兩圓相切的性質(zhì)：連心線必通過(guò)圓心，且與公切線垂直．這樣三個(gè)圓心構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，就能求出某一個(gè)角，這個(gè)角在力的合成圖中有等量關(guān)系，從而能求出凹面對(duì)小圓柱的彈力及小圓柱相互間的彈力大小．