Question

12．如圖所示，一光滑斜面的傾角為θ=30°，末端B與水平傳送帶相接，傳送帶的運行速度為v₀=5m/s沿順時針勻速轉動，長為L=4m；傳送帶下面離地面的高度h不變．質量為m=2kg的滑塊，由A點靜止下滑，當滑塊滑到傳送帶經過時間t=0.4s加速后與傳送帶相對靜止．滑塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ=0.25．設滑塊經過B點時沒有動能損失，求：
（1）AB間的距離s．
（2）在第（1）題情況下，物體通過傳送帶過程中，電動機多消耗的電能；
（3）s在什么范圍內時，物體離開傳送帶后的落地點在同一位置．

Answer 1

分析 （1）滑塊在傳送帶上水平方向受到傳送帶的摩擦力的作用，由牛頓第二定律求出加速度，然后由速度時間公式求出滑塊在B點的速度；從A到B重力做功，由動能定理即可求得AB間的距離s；
（2）B到C的過程中滑塊先加速，后勻速，電動機多消耗的電能等于傳送帶克服摩擦力做的功；
（3）要分情況進行討論，1．滑塊一直加速到C點；2．滑塊一直減速到C點，根據(jù)運動學基本公式求解．

解答 解：（1）滑塊在傳送帶上水平方向受到傳送帶的摩擦力的作用，由牛頓第二定律得：ma=f
所以：$a=\frac{μmg}{m}=μg=0.25×10=2.5m/{s}^{2}$
滑塊剛滑上傳送帶時的速度v：v+at=v₀
所以：v=v₀-at=5-2.5×0.4=4m/s
從A到B重力做功，由動能定理得：$mgs•sin30°=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
得：$s=\frac{{v}^{2}}{2gsin30°}=\frac{{4}^{2}}{2×10×0.5}m=1.6$m
（2）滑塊相對于傳送帶運動的過程中，傳送帶的位移：
x=v₀t=5×0.4=2m
電動機多消耗的電能等于傳送帶克服摩擦力做的功，即：△E=W=fx=μmg•x=0.25×2×10×2=10J
（3）設滑塊滑上傳送帶的最小速度是v₁時，滑塊一直在傳送帶上做加速運動，則：$2aL={v}_{0}^{2}-{v}_{1}^{2}$
所以：${v}_{1}=\sqrt{{v}_{0}^{2}-2aL}=\sqrt{{5}^{2}-2×2.5×4}m/s=\sqrt{5}$m/s
從A到B重力做功，由動能定理得：$mg{s}_{1}•sin30°=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-0$
代入數(shù)據(jù)得：s₁=0.5m
設滑塊滑上傳送帶的最大速度是v₂時，滑塊一直在傳送帶上做減速運動，則：$-2aL={v}_{0}^{2}-{v}_{2}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：${v}_{2}=\sqrt{{v}_{0}^{2}+2aL}=\sqrt{{5}^{2}+2×2.5×4}m/s=3\sqrt{5}$m/s
從A到B重力做功，由動能定理得：$mg{s}_{2}•sin30°=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-0$
代入數(shù)據(jù)得：s₂=4.5m
答：（1）AB間的距離是1.6m．
（2）在第（1）題情況下，物體通過傳送帶過程中，電動機多消耗的電能是10J；
（3）s在0.5m-4.5m范圍內時，物體離開傳送帶后的落地點在同一位置．

點評 本題主要考查了動能定理、平拋運動的基本規(guī)律，運動學基本公式的應用，要注意傳動帶順時針轉動時，要分析物體的運動情況，再根據(jù)運動學基本公式求解．