Question

19．帶電粒子的電荷量與其質量之比稱為比荷（ $\frac{q}{m}$）．是帶電粒子的基本參量之一．
如圖l所示是湯姆孫用來測定電子比荷的實驗裝置，真空玻璃管中K是金屬板制成的陰極，由陰極K發(fā)出的射線被加速后穿過帶有狹縫的極板A、B．經(jīng)過兩塊平行鋁板C、D中心軸線后打在玻璃管右側的熒光屏上形成光點．若平行鋁板C、D間無電壓，電子將打在熒光屏上的中心O點；若在平行鋁板C、D間施加偏轉電壓U，則電子將打在O₁點，O_l點與O點的豎直間距為h，水平間距可忽略不計．若再在平行鋁板C、D間施加一個方向垂直于紙面向里、磁感應強度為B的勻強磁場（圖中未畫出），則電子在熒光屏上產生的光點又回到O點．已知平行鋁板C、D的長度均為L₁，板間距離為d，它們的右端到熒光屏中心O點的水平距離為L₂，不計電子的重力和電子間的相互作用．

（1）求電子剛進入平行鋁板C、D間時速度的大�。�
（2）推導出電子比荷的表達式；
（3）伽利略曾通過邏輯推理得知：在同一高度同時由靜止釋放兩個質量不同的鐵球，只在重力作用下，它們可以同時落地．那么靜電場中的不同帶電粒子是否也會出現(xiàn)“同時落地”的現(xiàn)象呢？比如，在圖2所示的靜電場中的A點先后由靜止釋放兩個帶電粒子，它們只在電場力作用下運動到B點．請你分析說明：若要兩個帶電粒子從A運動到B所用時間相同（即實現(xiàn)“同時落地”），則必須滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）加偏轉電壓后，板間電場為勻強電場，根據(jù)勻強電場的場強公式求出電場強度；當電子受到電場力與洛倫茲力平衡時，做勻速直線運動，因此由電壓、磁感應強度可求出運動速度．
（2）電子在電場中做類平拋運動，將運動分解成沿電場強度方向與垂直電場強度方向，然后由運動學公式求解．電子離開電場后，做勻速直線運動，從而可以求出偏轉距離的表達式，變型得到電子的荷質比表達式．
（3）帶電粒子由A運動到B的過程中都是做初速度等于0的變加速直線運動，如果它們經(jīng)過任何位置時的加速度都相同，則它們從A運動到B的運動情況也完全相同，它們從A運動到B的時間就相等，由此思路分析即可．

解答 解：（1）加偏轉電壓U后，板間區(qū)域的電場為勻強電場，電場強度的大小$E=\frac{U}$，方向豎直向下；
當電子受到的電場力與洛淪茲力平衡時，電子做勻速直線運動，亮點重新回復到中心O點，設電子的速度為v，
則  evB=eE
得  v=$\frac{E}{B}$
即  v=$\frac{U}{Bb}$
（2）當極板間僅有偏轉電場 時，電子以速度v進入后，豎直方向作勻加速運動，加速度為a=$\frac{eU}{mb}$
電子在水平方向作勻速運動，在電場內的運動時間為  ${t}_{1}^{\;}=\frac{{L}_{1}^{\;}}{v}$
這樣，電子在電場中，豎直向上偏轉的距離為  d₁=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=$\frac{e{L}_{1}^{2}U}{2m{v}_{\;}^{2}b}$
離開電場時豎直向上的分速度為  v₁=at₁=$\frac{e{L}_{1}^{\;}U}{mvb}$
電子離開電場后做勻速直線運動，經(jīng)t₂時間到達熒光屏  t₂=$\frac{{L}_{2}^{\;}}{v}$
t₂時間內向上運動的距離為    d₂=v₁t₂=$\frac{eU{L}_{1}^{\;}{L}_{2}^{\;}}{m{v}_{\;}^{2}b}$
這樣，電子向上的總偏轉距離為   d=d₁+d₂=$\frac{eU}{m{v}_{\;}^{2}b}$L₁（L₂+$\frac{{L}_{1}^{\;}}{2}$）
可解得   $\frac{e}{m}$=$\frac{Ud}{{B}_{\;}^{2}b{L}_{1}^{\;}（{L}_{2}^{\;}+\frac{{L}_{1}^{\;}}{2}）}$
（3）帶電粒子由A運動到B的過程中都是做初速度等于0的變加速直線運動，如果它們經(jīng)過任何位置時的加速度都相同，則它們從A運動到B的運動情況也完全相同，它們從A運動到B的時間就相等．
帶電粒子的加速度：a=$\frac{qE}{m}$，可知若要加速度相等，即時間相等，則需要它們的比荷$\frac{q}{m}$相同．
答：（1）電子剛進入平行鋁板C、D間時速度的大小為$\frac{U}{Bb}$；
（2）推導出電子比荷的表達式為$\frac{e}{m}$=$\frac{Ud}{{B}_{\;}^{2}b{L}_{1}^{\;}（{L}_{2}^{\;}+\frac{{L}_{1}^{\;}}{2}）}$；
（3）要兩個帶電粒子從A運動到B所用時間相同（即實現(xiàn)“同時落地”），則必須滿足它們的比荷$\frac{q}{m}$相同．

點評 考查平拋運動處理規(guī)律：將運動分解成相互垂直的兩方向運動，因此將一個復雜的曲線運動分解成兩個簡單的直線運動，并用運動學公式來求解．