Question

1．直線MN上方有平行于紙面且與MN成45°的有界勻強電場，電場強度大小未知，MN下方為方向垂直于紙面向里的有界勻強磁場，磁感應強度大小為B．今從MN上的A點（圖中未標出）無初速度釋放一個帶正電粒子，該粒子運動經(jīng)過MN 線上的O 點時速度為v，如圖所示．該粒子在磁場中運動時的軌道半徑為R．若該粒子第三次經(jīng)過直線MN時恰好又通過O點．不計粒子的重力．求：

（1）帶電粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）電場的強度E；
（3）該粒子從開始運動到第二次過O點所需的時間．

Answer 1

分析 （1）粒子第一次從MN進入磁場時做勻速圓周運動，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出帶電粒子的比荷；
（2）第二次到達MN時速度方向垂直與電場強度方向向上，進入電場后，在電場中做類平拋運動，根據(jù)平拋運動基本規(guī)律求出E以及在電場中做類平拋運動的時間；
（3）粒子從A點運動到O點做勻加速直線運動，根據(jù)t=$\frac{v}{a}$求出時間，粒子在磁場中運動了$\frac{7}{8}T$，而T=$\frac{2πm}{Bq}$，進而求出粒子做圓周運動的時間，三段時間之和即為所求時間．

解答 解：（1）粒子第一次從MN進入磁場時做勻速圓周運動，第二次到達MN時速度方向垂直與電場強度方向向上，進入電場后，在電場中做類平拋運動，
第三次經(jīng)過直線MN時恰好又通過O點，運動軌跡如圖所示：
根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：
$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：$\frac{q}{m}=\frac{v}{BR}$
（2）粒子第二次經(jīng)過MN后進入電場時速度方向垂直與電場強度方向向上，進入電場后，在電場中做類平拋運動，
根據(jù)幾何關系得：
垂直與E方向的位移x=R，
沿著E方向的位移y=R，
則有：${t}_{1}=\frac{x}{v}=\frac{R}{v}$，
R=$\frac{1}{2}•\frac{Eq}{m}•{t}^{2}$
解得：E=2Bv
（3）粒子從A點運動到O點做勻加速直線運動，運動時間${t}_{2}=\frac{v}{a}=\frac{v}{\frac{Eq}{m}}=\frac{R}{2v}$，
粒子在磁場中運動了$\frac{7}{8}T$，而T=$\frac{2πm}{Bq}$，則粒子在磁場中運動的時間為${t}_{3}=\frac{7}{8}×\frac{2πm}{Bq}=\frac{7πR}{4v}$，
所以粒子從出發(fā)到再到達O點所需時間
t=t₁+t₂+t₃=$\frac{3R}{2v}+\frac{7πR}{4v}$．
答：（1）帶電粒子的比荷$\frac{q}{m}$為$\frac{v}{BR}$；
（2）電場的強度E為2Bv；
（3）該粒子從開始運動到第二次過O點所需的時間為$\frac{3R}{2v}+\frac{7πR}{4v}$．

點評 本題考查帶電粒子在電場、磁場中兩運動模型：勻速圓周運動與類平拋運動，及相關的綜合分析能力，以及空間想像的能力，應用數(shù)學知識解決物理問題的能力．