Question

7．如圖甲所示，粒子源靠近水平極板M、N的M板，N板下方有一對(duì)長(zhǎng)為L(zhǎng)，間距為d=1.5L的豎直極板P、Q，再下方區(qū)域存在著垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)上邊界的部分放有感光膠片．水平極板M、N中間開有小孔，兩小孔的連線為豎直極板P、Q的中線，與磁場(chǎng)上邊界的交點(diǎn)為O．水平極板M、N之間的電壓為U₀；豎直極板P、Q之間的電壓U_PQ隨時(shí)間t變化的圖象如圖乙所示；磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B=$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$．粒子源連續(xù)釋放初速不計(jì)、質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子，這些粒子經(jīng)加速電場(chǎng)獲得速度進(jìn)入豎直極板P、Q之間的電場(chǎng)后再進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，都會(huì)打到感光膠片上．已知粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間遠(yuǎn)小于電場(chǎng)變化的周期，粒子重力不計(jì)．求：
（1）帶電粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能E_K；
（2）磁場(chǎng)上、下邊界區(qū)域的最小寬度x；
（3）帶電粒子打到磁場(chǎng)上邊界感光膠片的落點(diǎn)范圍．

Answer 1

分析 （1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的動(dòng)能由動(dòng)能定理可知就等于在加速電場(chǎng)中電場(chǎng)力做的功．
（2）以任意角度入射的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后表示出向下偏移的距離，從該表達(dá)式就能看出只有垂直入射的粒子向下偏移的距離最大，再由半徑公式等就能得到所求．
（3）由運(yùn)動(dòng)的合成和類平拋的規(guī)律表示出在任意偏轉(zhuǎn)電壓下打在膠片上的長(zhǎng)度表達(dá)式，從表達(dá)式可以看出：打在感光膠片上的位置和射入磁場(chǎng)位置間的間距相等，與偏轉(zhuǎn)電壓無關(guān)．在感光膠片上的落點(diǎn)寬度等于粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)距離，從而確定打在膠片上的范圍．

解答 解：（1）帶電粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能，即為MN間的電場(chǎng)力做的功         E_K=W_MN=U₀q
（2）設(shè)帶電粒子以速度υ進(jìn)入磁場(chǎng)，且與磁場(chǎng)邊界之間的夾角為α?xí)r  
  向下偏移的距離：△y=R-Rcosα=R（1-cosα）
  而 $R=\frac{mυ}{Bq}$ 
  υ₁=υsinα
  $△y=\frac{{m{υ_1}}}{Bq}•\frac{（1-cosα）}{sinα}$
  當(dāng)α=90^o時(shí)，△y有最大值．
  即加速后的帶電粒子以υ₁的速度進(jìn)入豎直極板P、Q之間的電場(chǎng)不發(fā)生偏轉(zhuǎn)，沿中心線進(jìn)入磁場(chǎng)．
  磁場(chǎng)上、下邊界區(qū)域的最小寬度即為此時(shí)的帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌道半徑．
  ${U_0}q=\frac{1}{2}m{υ_1}^2$
  所以  ${υ_1}=\sqrt{\frac{{2q{U_0}}}{m}}$
  $△{y_{max}}=x=\frac{{m{υ_1}}}{Bq}=L$
（3）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，若t=0時(shí)進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，在電場(chǎng)中勻速直線運(yùn)動(dòng)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)R=L，打
  在感光膠片上距離中心線最近為x=2L
  任意電壓時(shí)出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的速度為υ_n，根據(jù)幾何關(guān)系
   ${υ_n}=\frac{υ_1}{cosα}$ 
   ${R_n}=\frac{{m{υ_n}}}{Bq}$
  在膠片上落點(diǎn)長(zhǎng)度為$△x=2{R_n}cosα=\frac{{2m{υ_1}}}{Bq}$
  打在感光膠片上的位置和射入磁場(chǎng)位置間的間距相等，與偏轉(zhuǎn)電壓無關(guān)．在感光膠片上的落點(diǎn)寬度等
  于粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)距離．                              
  帶電粒子在電場(chǎng)中最大偏轉(zhuǎn)距離$y=\frac{1}{2}a{t^2}=\frac{1}{2}•\frac{3q}{1.5Lm}•{（{\frac{L}{υ_1}}）^2}=\frac{L}{2}$
  粒子在感光膠片上落點(diǎn)距交點(diǎn)O的長(zhǎng)度分別是2L和$\frac{5L}{2}$，則落點(diǎn)范圍是$\frac{L}{2}$  
答：（1）帶電粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能E_K為U₀q．
（2）磁場(chǎng)上、下邊界區(qū)域的最小寬度x為L(zhǎng)．
（3）帶電粒子打到磁場(chǎng)上邊界感光膠片的落點(diǎn)范圍為從距O點(diǎn)2L到$\frac{5L}{2}$總長(zhǎng)為$\frac{L}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于第三問的偏轉(zhuǎn)范圍的求得，由于帶電粒子先經(jīng)過U₀的加速，然后進(jìn)入水平交變電場(chǎng)的偏轉(zhuǎn)，最后進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)打在膠片上．可以表示出在任意偏轉(zhuǎn)電壓下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑表達(dá)式（其中速度用進(jìn)入電場(chǎng)的速度表示），再表示出打在膠片下的長(zhǎng)度．巧合的是打在感光膠片上的位置和射入磁場(chǎng)位置間的間距相等，與偏轉(zhuǎn)電壓無關(guān)，從而求出粒子在感光膠片上落點(diǎn)的范圍．