Question

12．極地衛(wèi)星的運(yùn)行軌道平面通過地球的南北兩極（軌道可視為圓軌道）．如圖所示，若某極地衛(wèi)星從北緯30°的正上方按圖示方向第一次運(yùn)行至南緯60°正上方，所用時(shí)間為t，已知地球半徑為R（地球可看做球體），地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，由以上條件可知（　　）

• A． 地球的質(zhì)量為$\frac{gR}{G}$
• B． 衛(wèi)星運(yùn)行的角速度為$\frac{π}{2t}$
• C． 衛(wèi)星運(yùn)行的線速度為$\frac{πR}{2t}$
• D． 衛(wèi)星距地面的高度（$\frac{4g{R}^{2}{t}^{2}}{{π}^{2}}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$-R

Answer 1

分析 衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)角速度的定義求解角速度；根據(jù)地球表面重力等于萬有引力求解地球的質(zhì)量；
根據(jù)題意得出衛(wèi)星周期，根據(jù)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的向心力由地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供求解衛(wèi)星距地面的高度．

解答 解：A、根據(jù)地球表面重力等于萬有引力，有：mg=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，故A錯(cuò)誤；
B、星從北緯30°的正上方按圖示方向第一次運(yùn)行至南緯60°正上方，所用時(shí)間為t，轉(zhuǎn)過的圓心角為90°，故周期為T=4t，故B正確；
C、衛(wèi)星的線速度；v=$\frac{s}{t}=\frac{\frac{π}{2}r}{t}$=$\frac{πr}{2t}$，由于r＞R，故v＞$\frac{πR}{2t}$，故C錯(cuò)誤；
D、衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的向心力由地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供，故：
$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}r$
其中：T=4t，r=R+h
g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
聯(lián)立解得：
h=$\root{3}{\frac{4g{R}^{2}{t}^{2}}{{π}^{2}}}-R$
故D正確；
故選：BD

點(diǎn)評 靈活運(yùn)動(dòng)用重力和萬有引力相等以及萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是解決本題的關(guān)鍵．