（2012•藍山縣模擬）如圖，直角坐標(biāo)系xOy中，一直角三角形ABC，∠=90°，B、C在x軸上且關(guān)于原點O對稱，D在邊BC上，BD=3DC，△ABC的周長為12．若一雙曲線E以B、C為焦點，且經(jīng)過A、D兩點．
（1）求雙曲線E的方程；
（ 2）若一過點O（m，0）（m為非零常數(shù)）的直線與雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且

MP

=λ

PN

，問在x軸上是否存在定點G，使

BC

⊥(

GM

-λ

GN

)？若存在，求出所有這樣定點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（2012•藍山縣模擬）某學(xué)校餐廳為了保證每天供應(yīng)1000名學(xué)生用餐，每星期一都提供有A、B兩種菜可供學(xué)生選擇（每個學(xué)生都將從二種中選一種），經(jīng)調(diào)查，凡是在本周星期一選A菜的，下周星期一會有20%改選B，而選B菜的，下周星期一則有30%改選A．用a_n、b_n分別表示在第n個星期一選A、B菜的人數(shù)（a₁、b₁表示本周星期一選A菜人數(shù)），若a₁=200．
（1）試以a_n表示a_n+1；
（2）證明：{a_n}的通項公式是an=(-400)•(

1

2

)n-1+600；
（3）試問從第幾個星期一開始，選A人數(shù)超過選B的人數(shù)？

（2012•藍山縣模擬）如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠C=45°，AB=2，AD=1，E是AB中點，F(xiàn)是DC上的點，且EF∥AD，現(xiàn)以EF為折痕將四邊形AEFD向上折起，使平面AEFD垂直平面EBCF，連AC，DC，BA，BD，BF，

（1）求證：CB⊥平面DFB；
（2）求二面角B-AC-D的余弦值．

（2012•藍山縣模擬）對大于或等于2的自然數(shù)m的3次方冪有如下分解方式：2³=3+5，3³=7+9+11，4³=13+15+17+19，則
（1）8³的分解中最小的數(shù)是；
（2）按以上規(guī)律分解，第n個式子可以表示表示為（n+1）³=．

（2012•藍山縣模擬）設(shè)橢圓C的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點為A，過點A與AF₂垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且2

F1F2

+

F2Q

=

0

．則橢圓C的離心率為．

（2012•藍山縣模擬）已知不等式組

y≤x y≥-x x≤2

表示的平面區(qū)域為M，直線y=x與曲線y=

1

2

x2所圍成的平面區(qū)域為N，現(xiàn)隨機向區(qū)域M內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域N內(nèi)的概率為．

（2012•藍山縣模擬）若展開式(x2-

a

x

)6的含x³項系數(shù)為20，則常數(shù)a的值為．

（2012•藍山縣模擬）存在實數(shù)x使不等式

3-x

+

x-1

≥|m+1|成立，則實數(shù)m的取值范圍為．