（2011•徐州模擬）如圖，某新建小區(qū)有一片邊長(zhǎng)為1（單位：百米）的正方形剩余地塊ABCD，中間部分MNK是一片池塘，池塘的邊緣曲線(xiàn)段MN為函數(shù)y=

2

9x

(

1

3

≤x≤

2

3

)的圖象，另外的邊緣是平行于正方形兩邊的直線(xiàn)段．為了美化該地塊，計(jì)劃修一條穿越該地塊的直路（寬度不計(jì)），直路l與曲線(xiàn)段MN相切（切點(diǎn)記為P），并把該地塊分為兩部分．記點(diǎn)P到邊AD距離為t，f（t）表示該地塊在直路左下部分的面積．
（1）求f（t）的解析式；
（2）求面積S=f（t）的最大值．

（2011•徐州模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓B：（x-1）²+y²=16與點(diǎn)A（-1，0），P為圓B上的動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段PA的垂直平分線(xiàn)交直線(xiàn)PB于點(diǎn)R，點(diǎn)R的軌跡記為曲線(xiàn)C．
（1）求曲線(xiàn)C的方程；
（2）曲線(xiàn)C與x軸正半軸交點(diǎn)記為Q，過(guò)原點(diǎn)O且不與x軸重合的直線(xiàn)與曲線(xiàn)C的交點(diǎn)記為M，N，連接QM，QN，分別交直線(xiàn)x=t（t為常數(shù)，且t≠2）于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)E，F(xiàn)的縱坐標(biāo)分別為y₁，y₂，求y₁•y₂的值（用t表示）．

（2011•南通三模）設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-（a+b）x²+bx+c，其中a＞0，b，c∈R．
（1）若f′(

1

3

)=0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求證：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，|f'（x）|≤max{f'（0），f'（1）}．（注：max{a，b}表示a，b中的最大值）

（2011•南通三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，其焦點(diǎn)在圓x²+y²=1上．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)A，B，M是橢圓上的三點(diǎn)（異于橢圓頂點(diǎn)），且存在銳角θ，使

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

．
（i）求證：直線(xiàn)OA與OB的斜率之積為定值；
（ii）求OA²+OB²．

（2011•南通三模）如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中．
（1）若BB₁=BC，B₁C⊥A₁B，證明：平面AB₁C⊥平面A₁BC₁；
（2）設(shè)D是BC的中點(diǎn)，E是A₁C₁上的一點(diǎn)，且A₁B∥平面B₁DE，求

A1E

EC1

的值．

（2011•徐州模擬）過(guò)點(diǎn)P（5，4）作直線(xiàn)l與圓O：x²+y²=25交于A，B兩點(diǎn)，若PA=2，則直線(xiàn)l的方程為．

（2011•徐州模擬）已知點(diǎn)P，A，B，C是球O表面上的四個(gè)點(diǎn)，且PA，PB，PC兩兩成60°角，PA=PB=PC=1cm，則球的表面積為cm²．

（2011•徐州模擬）若中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為x+3y=0，則此雙曲線(xiàn)的離心率為．

（2011•徐州模擬）若m∈（0，3），則直線(xiàn)（m+2）x+（3-m）y-3=0與x軸、y軸圍成的三角形的面積小于

9

8

的概率為．

（2011•南通三模）已知（a+i）²=2i，其中i是虛數(shù)單位，那么實(shí)數(shù) a=．