Question

（2011•南通三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，其焦點(diǎn)在圓x²+y²=1上．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)A，B，M是橢圓上的三點(diǎn)（異于橢圓頂點(diǎn)），且存在銳角θ，使

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

．
（i）求證：直線OA與OB的斜率之積為定值；
（ii）求OA²+OB²．

Answer 1

分析：（1）由已知中橢圓的離心率為

2

2

，其焦點(diǎn)在圓x²+y²=1上我們可以求出a，b，c的值，進(jìn)而得到橢圓的方程；
（2）（i）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），由

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

．可得x，y的坐標(biāo)表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)M在橢圓上，可得kOAkOB=

y1y2

x1x2

=-

1

2

為定值．
（ii）由（i）中結(jié)論，可得y₁²+y₂²=1，及x₁²+x₂²=2，進(jìn)而得到OA²+OB²

解答：解：（1）依題意，得  c=1．于是，a=

2

，b=1．     …（2分）
所以所求橢圓的方程為

x2

2

+y2=1． …（4分）
（2）（i）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x 2 1

2

+

y

2 1

=1①，

x 2 2

2

+

y

2 2

=1②．
又設(shè)M（x，y），因

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

，故

x=x1cosθ+x2sinθ y=y1cosθ+y2sinθ.

…（7分）
因M在橢圓上，故

(x1cosθ+x2sinθ)2

2

+(y1cosθ+y2sinθ)2=1．
整理得(

x 2 1

2

+

y

2 1

)cos2θ+(

x 2 2

2

+

y

2 2

)sin2θ+2(

x1x2

2

+y1y2)cosθsinθ=1．
將①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得  

x1x2

2

+y1y2=0．
所以，kOAkOB=

y1y2

x1x2

=-

1

2

為定值． …（10分）
（ii）(y1y2)2=(-

x1x2

2

)2=

x 2 1

2

•

x 2 2

2

=(1-

y

2 1

)(1-

y

2 2

)=1-(

y

2 1

+

y

2 2

)+

y

2 1

y

2 2

，故y₁²+y₂²=1．
又(

x 2 1

2

+

y

2 1

)+(

x 2 2

2

+

y

2 2

)=2，故x₁²+x₂²=2．
所以，OA²+OB²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=3．  …（16分）

點(diǎn)評：本題主要考查圓、橢圓及直線的基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力及探究能力．第（2）問中，可以證明線段AB的中點(diǎn)恒在定橢圓x²+2y²=1上．后一問與前一問之間具有等價(jià)關(guān)系．