對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．
則稱[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．
（1）證明：[0，1]是函數(shù)y=f（x）=x²的一個“和諧區(qū)間”．
（2）求證：函數(shù)y=g(x)=3-

5

x

不存在“和諧區(qū)間”．
（3）已知：函數(shù)y=h(x)=

(a2+a)x-1

a2x

（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，當a變化時，求出n-m的最大值．

已知：橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），過點A（-a，0），B（0，b）的直線傾斜角為

π

6

，原點到該直線的距離為

3

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）斜率大于零的直線過D（-1，0）與橢圓交于E，F(xiàn)兩點，若

ED

=2

DF

，求直線EF的方程；
（3）對于D（-1，0），是否存在實數(shù)k，直線y=kx+2交橢圓于P，Q兩點，且|DP|=|DQ|？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

數(shù)列中，a_n＞0，a_n≠1，且an+1=

3an

2an+1

（n∈N^*）．
（1）證明：a_n≠a_n+1；
（2）若a1=

3

4

，計算a₂，a₃，a₄的值，并求出數(shù)列的通項公式．

已知：四棱錐P-ABCD，底面ABCD是邊長為2的菱形，PA⊥平面ABCD，且PA=2，
∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求直線EF與平面ABCD所成角的大�。�

從1，2，3，4，5中任取2個不同數(shù)作和，則和為偶數(shù)的概率為．

實數(shù)x、y滿足

x+2y≥2 y≤x x≤1

，則目標函數(shù)z=3x-y的最小值為．

數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²+n-3，則通項公式a_n=．

設x₁、x₂（x₁≠x₂）是函數(shù)f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個極值點．
（Ⅰ）若x₁=-1，x₂=2，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若|x1|+|x2|=2

2

，求b的最大值；
（Ⅲ）設函數(shù)g（x）=f'（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），當x₂=a時，求證：|g(x)|≤

1

12

a(3a+2)2．

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S₅=3a₅-2，又a₁，a₂，a₅依次成等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b₁=-9，bn+1=bn+

k

2 an+1 2

，（n∈N⁺）其中k為大于0的常數(shù)．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記數(shù)列a_n+b_n的前n項和為T_n，若當且僅當n=3時，T_n取得最小值，求實數(shù)k的取值范圍．

如果關于實數(shù)x的方程ax2+

1

x

=3x的所有解中，僅有一個正數(shù)解，那么實數(shù)a的取值范圍為．