某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線，但需要經(jīng)環(huán)保部門審批同意方可投入生產(chǎn)，已知該廠連續(xù)生產(chǎn)n個(gè)月的累計(jì)產(chǎn)量為f(n)=

1

2

n(n+1)(2n-1)噸，但如果產(chǎn)量超過(guò)96噸，將會(huì)給環(huán)境造成危害．
（1）請(qǐng)你代表環(huán)保部門給廠擬定最長(zhǎng)的生產(chǎn)周期；
（2）若該廠在環(huán)保部門的規(guī)定下生產(chǎn)，但需要每月交納a萬(wàn)元的環(huán)保稅，已知每噸產(chǎn)品售價(jià)0.6萬(wàn)元，第n個(gè)月的工人工資為g(n)=

8

5

n2-

2

5

n-1萬(wàn)元，若每月都贏利，求出a的范圍．

設(shè)f(x)=

ax+a-x

2

，g(x)=

ax-a-x

2

（其中a＞0，且a≠1）．
（1）5=2+3請(qǐng)你推測(cè)g（5）能否用f（2），f（3），g（2），g（3）來(lái)表示；
（2）如果（1）中獲得了一個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你推測(cè)能否將其推廣．

已知命題：“若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且a_n＞0，則數(shù)列bn=

n

a1a2… an

(n∈N*)也是等比數(shù)列”．類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè)什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論．

類比“兩角和與差的正余弦公式”的形式，對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)，S(x)=

ax-a-x

2

，C(x)=

ax+a-x

2

，其中a＞0，且a≠1，下面正確的運(yùn)算公式是．
①S（x+y）=S（x）C（y）+C（x）S（y）； ②S（x-y）=S（x）C（y）-C（x）S（y）；
③C（x+y）=C（x）C（y）-S（x）S（y）； ④C（x-y）=C（x）C（y）+S（x）S（y）．

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，an+1=

an

3an+1

(n∈N*)，可以猜測(cè)數(shù)列通項(xiàng)a_n的表達(dá)式為．

用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3•…•（2n-1）（n∈N）時(shí)，從“k”到“k+1”的證明，左邊需增添的代數(shù)式是．

用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+(n+3)=

(n+3)(n+4)

2

(n∈N+)時(shí)，第一步驗(yàn)證n=1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是