觀察下列等式：

2

1

+2=4；

2

1

×2=4；

3

2

+3=

9

2

；

3

2

×3=

9

2

；

4

3

+4=

16

3

；

4

3

×4=

16

3

；…，根據(jù)這些等式反映的結(jié)果，可以得出一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的等式，這個(gè)等式可以表示為_(kāi)_____．

在計(jì)算“1×2+2×3+…n（n+1）”時(shí)，先改寫第k項(xiàng)：
k（k+1）=

1

3

[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，由此得1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2），2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3），．．
n（n+1）=

1

3

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，相加，得1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

n(n+1)(n+2)
（1）類比上述方法，請(qǐng)你計(jì)算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”的結(jié)果；
（2）試用數(shù)學(xué)歸納法證明你得到的等式．

（理）已知△ABC三邊a，b，c的長(zhǎng)都是整數(shù)，且a≤b≤c，如果b=m（m∈N*），則這樣的三角形共有______個(gè)（用m表示）．

下面幾種是合情推理的是（　�。�
①已知兩條直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果∠A和∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，那么∠A+∠B=180°
②由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體的性質(zhì)
③數(shù)列{a_n}中，a_n=2n-1推出a₁₀=19
④數(shù)列1，0，1，0，…推測(cè)出每項(xiàng)公式a_n=

1

2

+（-1）ⁿ⁺¹•

1

2

．

A．①②

B．②④

C．②③

D．③④

“金導(dǎo)電、銀導(dǎo)電、銅導(dǎo)電、鐵導(dǎo)電，所以一切金屬都導(dǎo)電”．此推理方法是（　�。�

A．完全歸納推理	B．類比推理
C．歸納推理	D．演繹推理

在平面幾何里，我們知道，正三角形的外接圓和內(nèi)切圓的半徑之比是2：1． 拓展到空間，研究正四面體（四個(gè)面均為全等的正三角形的四面體）的外接球和內(nèi)切球的半徑關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比是 ______．

閱讀下面一段文字：已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，如果當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-a_n-1=2，則易知通項(xiàng)a_n=2n-1，前n項(xiàng)的和S_n=n²．將此命題中的“等號(hào)”改為“大于號(hào)”，我們得到：數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，如果當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-a_n-1＞2，那么a_n＞2n-1，且S_n＞n²．這種從“等”到“不等”的類比很有趣．由此還可以思考：要證S_n＞n²，可以先證a_n＞2n-1，而要證a_n＞2n-1，只需證a_n-a_n-1＞2（n≥2）．結(jié)合以上思想方法，完成下題：
已知函數(shù)f（x）=x³+1，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n），若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，求證：S_n≥2ⁿ-1．

設(shè)n≥2，n∈N，（2x+

1

2

）ⁿ-（3x+

1

3

）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，將|a_k|（0≤k≤n）的最小值記為T_n，則T₂=0，T₃=

1

23

-

1

33

，T₄=0，T₅=

1

25

-

1

35

，…，T_n…，其中T_n=______．

如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．介于1到200之間的所有“神秘?cái)?shù)”之和為_(kāi)_____．

在空間，到定點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合稱為球面．定點(diǎn)叫做球心，定長(zhǎng)叫做球面的半徑．平面內(nèi)，以點(diǎn)（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，類似的在空間以點(diǎn)（a，b，c）為球心，以r為半徑的球面方程為 ______．