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【題目】在平面直角坐標系中,橢圓的離心率為,直線被橢圓截得的線段長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過原點的直線與橢圓交于兩點(不是橢圓的頂點),點在橢圓上,且,直線與軸軸分別交于兩點.
①設直線斜率分別為,證明存在常數(shù)使得,并求出的值;
②求面積的最大值.
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【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求的值;
(2)判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性;
(3)若對任意的,不等式恒成立,求的取值范圍.
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【題目】某學校高三年級有學生500人,其中男生300人,女生200人,為了研究學生的數(shù)學成績是否與性別有關,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名學生,先統(tǒng)計了他們期中考試的數(shù)學分數(shù),然后按性別分為男、女兩組,再將兩組學生的分數(shù)分成5組:[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分別加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)從樣本中分數(shù)小于110分的學生中隨機抽取2人,求兩人恰好為一男一女的概率;
(2)若規(guī)定分數(shù)不小于130分的學生為“數(shù)學尖子生”,請你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為“數(shù)學尖子生與性別有關”?
附:
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
,
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【題目】已知函數(shù).
(1)當時,判斷在定義域上的單調(diào)性;
(2)若對定義域上的任意的,有恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)證明:,.
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【題目】如圖,在直三棱柱中,是等腰直角三角形,,,點D是側(cè)棱上的一點.
(1)證明:當點D是的中點時,平面BCD;
(2)若二面角的余弦值為求二面角的余弦值.
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【題目】哈三中團委組織了“古典詩詞”的知識競賽,從參加考試的學生中抽出60名學生(男女各30名),將其成績分成六組,,…,,其部分頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)求成績在的頻率,補全這個頻率分布直方圖,并估計這次考試的眾數(shù)和中位數(shù);
(Ⅱ)從成績在和的學生中選兩人,求他們在同一分數(shù)段的概率;
(Ⅲ)我們規(guī)定學生成績大于等于80分時為優(yōu)秀,經(jīng)統(tǒng)計男生優(yōu)秀人數(shù)為4人,補全下面表格,并判斷是否有99%的把握認為成績是否優(yōu)秀與性別有關?
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 合計 | |
男 | 4 | 30 | |
女 | 30 | ||
合計 | 60 |
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】下列命題中正確的是( )
①已知隨機變量服從正態(tài)分布,且,則;
②相關系數(shù)r用來衡量兩個變量之間線性關系的強弱,越大,相關性越弱;
③相關指數(shù)用來刻畫回歸的效果,越小,說明模型的擬合效果越好;
④在殘差圖中,殘差點分布的帶狀區(qū)域越狹窄,其模型擬合的精度就越高.
A.①②B.①④C.②③D.③④
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【題目】已知函數(shù).
(1)當時,判斷在定義域上的單調(diào)性;
(2)若對定義域上的任意的,有恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)證明:,.
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【題目】哈三中團委組織了“古典詩詞”的知識競賽,從參加考試的學生中抽出60名學生(男女各30名),將其成績分成六組,,…,,其部分頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)求成績在的頻率,補全這個頻率分布直方圖,并估計這次考試的眾數(shù)和中位數(shù);
(Ⅱ)從成績在和的學生中選兩人,求他們在同一分數(shù)段的概率;
(Ⅲ)我們規(guī)定學生成績大于等于80分時為優(yōu)秀,經(jīng)統(tǒng)計男生優(yōu)秀人數(shù)為4人,補全下面表格,并判斷是否有99%的把握認為成績是否優(yōu)秀與性別有關?
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 合計 | |
男 | 4 | 30 | |
女 | 30 | ||
合計 | 60 |
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長為3的疋方形,側(cè)面與底面垂直,過點作的垂線,垂足為,且滿足,點在棱上,
(1)當時,求直線與平面所成角的正弦值;
(2)當取何值時,二面角的正弦值為.
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