已知直線l：y=ax+1與雙曲線C：3x²-y²=1相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)a取何值時(shí)，以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．

如圖，F(xiàn)是定直線l外的一個(gè)定點(diǎn)，C是l上的動(dòng)點(diǎn)，有下列結(jié)論：若以C為圓心，CF為半徑的圓與l相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B分別作l的垂線與圓C過(guò)F的切線相交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，則必在以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的同一條拋物線上．
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出該拋物線的方程；
（Ⅱ）對(duì)以上結(jié)論的反向思考可以得到另一個(gè)命題：“若過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于P、Q兩點(diǎn)，則以PQ為直徑的圓一定與拋物線的準(zhǔn)線l相切”請(qǐng)問(wèn)：此命題是正確？試證明你的判斷；
（Ⅲ）請(qǐng)選擇橢圓或雙曲線之一類比（Ⅱ）寫出相應(yīng)的命題并證明其真假．（只選擇一種曲線解答即可，若兩種都選，則以第一選擇為平分依據(jù)）

已知拋物線C₁的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一個(gè)焦點(diǎn)F₁且垂直于C₂的兩個(gè)焦點(diǎn)所在的軸，若拋物線C₁與雙曲線C₂的一個(gè)交點(diǎn)是M(

2

3

，

2 6

3

)．
（1）求拋物線C₁的方程及其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）求雙曲線C₂的方程及其離心率e．

已知離心率為

4

5

的橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線以橢圓的長(zhǎng)軸為實(shí)軸，短軸為虛軸，且焦距為2

34

．
（I）求橢圓及雙曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，在第二象限內(nèi)取雙曲線上一點(diǎn)P，連結(jié)BP交橢圓于點(diǎn)M，連結(jié)PA并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)N，若

BM

=

MP

．求四邊形ANBM的面積．

已知兩點(diǎn)M(1，

5

4

)，N(-4，-

5

4

)，給出下列曲線方程：
①4x+2y-1=0；
②x²+y²=3；
③

x2

2

+y2=1；
④

x2

2

-y2=1．
在這些曲線上存在點(diǎn)P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是（　�。�

A．①③

B．②④

C．①②③

D．②③④

已知直線l的參數(shù)方程為

x=2+tcosα y=tsinα

，（t為參數(shù)，α為傾斜角，且α≠

π

2

）與曲線

x2

16

+

y2

12

=1交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）寫出直線l的一般方程及直線l通過(guò)的定點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求|PA||PB|的最大值．

已知拋物線C：y=ax²（a＞0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

1

4

，且C上的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱，并且x1x2=-

1

2

，那么m=______．

已知?jiǎng)狱c(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上，且滿足|AB|=2，點(diǎn)P在線段AB上，且

AP

=t

PB

（t是不為零的常數(shù)）．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；若t=2，點(diǎn)M，N是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（M，N不在坐標(biāo)軸上），點(diǎn)Q(

3

2

，3)，（2）求△QMN的面積S的最大值．

直線可能和雙曲線有三個(gè)交點(diǎn)嗎？