已知直線l：y=ax+1與雙曲線C：3x²-y²=1相交于A、B兩點．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)實數(shù)a取何值時，以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點．

如圖，F(xiàn)是定直線l外的一個定點，C是l上的動點，有下列結(jié)論：若以C為圓心，CF為半徑的圓與l相交于A、B兩點，過A、B分別作l的垂線與圓C過F的切線相交于點P和點Q，則必在以F為焦點，l為準(zhǔn)線的同一條拋物線上．
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出該拋物線的方程；
（Ⅱ）對以上結(jié)論的反向思考可以得到另一個命題：“若過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于P、Q兩點，則以PQ為直徑的圓一定與拋物線的準(zhǔn)線l相切”請問：此命題是正確？試證明你的判斷；
（Ⅲ）請選擇橢圓或雙曲線之一類比（Ⅱ）寫出相應(yīng)的命題并證明其真假．（只選擇一種曲線解答即可，若兩種都選，則以第一選擇為平分依據(jù)）

已知拋物線C₁的頂點在坐標(biāo)原點，它的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一個焦點F₁且垂直于C₂的兩個焦點所在的軸，若拋物線C₁與雙曲線C₂的一個交點是M(

2

3

，

2 6

3

)．
（1）求拋物線C₁的方程及其焦點F的坐標(biāo)；
（2）求雙曲線C₂的方程及其離心率e．

已知離心率為

4

5

的橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，雙曲線以橢圓的長軸為實軸，短軸為虛軸，且焦距為2

34

．
（I）求橢圓及雙曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點分別為A，B，在第二象限內(nèi)取雙曲線上一點P，連結(jié)BP交橢圓于點M，連結(jié)PA并延長交橢圓于點N，若

BM

=

MP

．求四邊形ANBM的面積．

已知兩點M(1，

5

4

)，N(-4，-

5

4

)，給出下列曲線方程：
①4x+2y-1=0；
②x²+y²=3；
③

x2

2

+y2=1；
④

x2

2

-y2=1．
在這些曲線上存在點P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是（　　）

A．①③

B．②④

C．①②③

D．②③④

已知直線l的參數(shù)方程為

x=2+tcosα y=tsinα

，（t為參數(shù)，α為傾斜角，且α≠

π

2

）與曲線

x2

16

+

y2

12

=1交于A，B兩點．
（Ⅰ）寫出直線l的一般方程及直線l通過的定點P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求|PA||PB|的最大值．

已知拋物線C：y=ax²（a＞0）的焦點到準(zhǔn)線的距離為

1

4

，且C上的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關(guān)于直線y=x+m對稱，并且x1x2=-

1

2

，那么m=______．

已知動點A，B分別在x軸、y軸上，且滿足|AB|=2，點P在線段AB上，且

AP

=t

PB

（t是不為零的常數(shù)）．設(shè)點P的軌跡為曲線C．
（1）求點P的軌跡方程；若t=2，點M，N是C上關(guān)于原點對稱的兩個動點（M，N不在坐標(biāo)軸上），點Q(

3

2

，3)，（2）求△QMN的面積S的最大值．

直線可能和雙曲線有三個交點嗎？