已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+x2+ax．
（1）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）單調(diào)遞增，求a的最小值；
（2）若g(x)=

1

ex

，對?x1∈[

1

2

，2]，?x2∈[

1

2

，2]，使f′（x₁）≤g（x₂）成立，求a的范圍．

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長和底面邊長均為2，A₁在底面ABC內(nèi)的射影O為底面△ABC的中心，如圖所示：
（1）連結(jié)BC₁，求異面直線AA₁與BC₁所成角的大��；
（2）連結(jié)A₁C、A₁B，求三棱錐C₁-BCA₁的體積．

已知以原點為中心，以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓C的一個焦點為(0，

3

)，且過點（0，2）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+1與橢圓C交于A，B兩點，k為何值時

OA

⊥

OB

？此時|

AB

|的值是多少？

對于數(shù)列{a_n}，把a(bǔ)₁作為新數(shù)列{b_n}的第一項，把a(bǔ)_i或-a_i（i=2，3，4，…，n）作為新數(shù)列{b_n}的第i項，數(shù)列{b_n}稱為數(shù)列{a_n}的一個生成數(shù)列．例如，數(shù)列1，2，3，4，5的一個生成數(shù)列是1，-2，-3，4，5．已知數(shù)列{b_n}為數(shù)列{

1

2n

}（n∈N^*）的生成數(shù)列，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和．
（Ⅰ）寫出S₃的所有可能值；
（Ⅱ）若生成數(shù)列{b_n}滿足的通項公式為b_n=

1 2n  ， n=3k+1 ，  - 1 2n  ， n≠3k+1 ，

（k∈N），求S_n．

已知橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

1

2

，左準(zhǔn)線方程為x=-4．
（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上一點（x₀，y₀）作橢圓的切線，切線方程為

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．現(xiàn)過橢圓M的右焦點作斜率不為0的直線l于橢圓交于A，B兩點，過A，B分別作橢圓的切線l₁，l₂．
①證明：l₁，l₂的交點P在一條定直線上；
②求△ABP面積的最小值．

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，過A作AE垂直SB交SB于E點，作AH垂直SD交SD于H點，平面AEH交SC于K點，P是SA上的動點，且AB=1，SA=2．
（1）試證明不論點P在何位置，都有DB⊥PC；
（2）求PB+PH的最小值；
（3）設(shè)平面AEKH與平面ABCD的交線為l，求證：BD∥l．

定義函數(shù)fk(x)=

alnx

xk

為f（x）的k階函數(shù)．
（1）求一階函數(shù)f₁（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a＞0時，討論方程f₂（x）=1的解的個數(shù)；
（3）求證：3lnx≤x³e^x-1．

已知函數(shù)f（x）=x²+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常數(shù)．
（1）?a∈R，試證明函數(shù)y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線經(jīng)過定點；
（2）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點都在第一象限，試求常數(shù)a的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）=a|x-8|+b（7≤x≤10）（a＞0）的值域是[-1，4]，求f（x）的表達(dá)式．

如圖，四棱錐A-BCDE中，△ABC是正三角形，四邊形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB=2，AD=4．
（1）若點G是AE的中點，求證：AC∥平面BDG
（2）若F是線段AB的中點，求三棱錐B-EFC的體積．