Question

已知函數(shù)f（x）=x²+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常數(shù)．
（1）?a∈R，試證明函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線經(jīng)過定點(diǎn)；
（2）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)都在第一象限，試求常數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得切線斜率，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，可得函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線，即可得出切線y=（1+a）（2x-1）經(jīng)過定點(diǎn)(

1

2

，0)；
（2）分類討論，a＜0時(shí)，由f（x）=x²+a（x+lnx）＞0得

1

a

＜-(

1

x

+

1

x2

lnx)，求出右邊對(duì)應(yīng)函數(shù)的最值，即可求常數(shù)a的取值范圍．

解答： （1）證明：f′（x）=2x+a(1+

1

x

)…（1分）
∴f（1）=1+a，f′（1）=2+2a…（2分），
∴函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為y-（1+a）=（2+2a）（x-1），
即y=（1+a）（2x-1）…（4分）
?a∈R，當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y=（1+a）（2x-1）=0，即切線y=（1+a）（2x-1）經(jīng)過定點(diǎn)(

1

2

，0)…（5分）
（2）解：a=0時(shí)，f（x）=x²，
∵x＞0，∴點(diǎn)（x，x²）在第一象限…（6分）
依題意，f（x）=x²+a（x+lnx）＞0…（7分）
a＞0時(shí)，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，x∈（0，1）時(shí)，lnx∈（-∞，0），alnx∈（-∞，0），
從而“?x＞0，f（x）=x²+a（x+lnx）＞0”不成立…（8分）
a＜0時(shí)，由f（x）=x²+a（x+lnx）＞0得

1

a

＜-(

1

x

+

1

x2

lnx)…（9分）
設(shè)g(x)=-(

1

x

+

1

x2

lnx)，g′(x)=

x-1

x3

+

2

x3

lnx…（10分）

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	↘	極小值	↗

g（x）≥g（1）=-1，從而

1

a

＜-(

1

x

+

1

x2

lnx)＜-1，-1＜a＜0…（13分）
綜上所述，常數(shù)a的取值范圍-1＜a≤0…（14分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．