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已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是邊長為2的菱形，AC∩BD=O，AA₁=2

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，BD⊥A₁A，∠BAD=∠A₁AC=60°，點(diǎn)M是棱AA₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁C∥平面BMD；
（Ⅱ）求證：A₁O⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求直線BM與平面BC₁D所成角的正弦值．

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如圖，平面四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，AB為球O的直徑，P為球面上一點(diǎn)，且PO⊥平面ABCD，NC=CD=DA=2，點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)．
（1）證明：平面PBC∥平面ODM；
（2）求平面PBC與平面PAD所成銳二面角的余弦值．

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如圖，四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE=

1

2

CD，M是線段AE上的動點(diǎn)．
（Ⅰ）試確定點(diǎn)M的位置，使AC∥平面DMF，并說明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求平面DMF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

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如圖所示，空間中有一直角三角形POA，∠O為直角，OA=4，PO=3，現(xiàn)以其中一直角邊PO為軸，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后，將A點(diǎn)所在的位置記為B，再按逆時(shí)針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)120°后，A點(diǎn)所在的位置記為C．
（Ⅰ）連結(jié)BC，取BC的中點(diǎn)為D，求證：面PDO⊥面PBC；
（Ⅱ）求PA與平面PBC所成的角的正弦值．

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如圖，在Rt△ABC中，∠BAC、∠ABC、∠ACB成等差數(shù)列，且AB=4，D點(diǎn)是斜邊BC上一動點(diǎn)，連接AD，以AD為折痕，將△ABD折到與△ADC的同一個(gè)平面內(nèi)，B變?yōu)锽₁，設(shè)∠BAD=θ．
（1）求BD的長；
（2）求B₁C的最小值．

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