已知函數(shù)f（x）=x|x+a|-

1

2

lnx，若f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

已知sin³θ+cos³θ=1，求sinθ+cosθ的值．

已知定點(diǎn)A（4，0），圓C：x²+y²=4上有一動(dòng)點(diǎn)P，設(shè)M為線段AP上一點(diǎn)，且滿足

AM

=2

MP

，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

設(shè)f（α）=

sin(2π-α)cos(π+α)cos( π 2 -α)

cos(π-α)sin(π-α)sin( 9π 2 )

，化簡并求f（

π

4

）的值．

已知A為△ABC的內(nèi)角，求sinA+2sin²

A

2

的取值范圍．

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

2

3

，a_n+1=

n

n+1

a_n，求a_n．

設(shè)符號(hào)“@”是數(shù)集A中的一種運(yùn)算，如果對于任意x，y∈A，都有x@y∈A，則稱運(yùn)算@對集合A是封閉的．設(shè)A=（x|x=m+

2

n，m，n∈Z），判斷A對通常的實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算是否封閉．

我們將不與拋物線對稱軸平行或重合且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線稱為拋物線的切線，這個(gè)公共點(diǎn)稱為切點(diǎn)．解決下列問題：已知拋物線x²=2py（p＞0）上的點(diǎn)（x₀，3）到焦點(diǎn)的距離等于4，直線l：y=kx+b與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且|x₂-x₁|=h（h為定值）．設(shè)線段AB的中點(diǎn)為D，與直線l：y=kx+b平行的拋物線的切點(diǎn)為C．
（1）求出拋物線方程，并寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程；
（2）用k、b表示出C點(diǎn)、D點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明CD垂直于x軸；
（3）求△ABC的面積，證明△ABC的面積與k、b無關(guān)，只與h有關(guān)．

定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）=x²+x，g（x）=

1

3

x³-2x+m．
（1）求函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程；
（2）若f（x）≥g（x）對任意的x∈[-4，4]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

設(shè)橢圓Γ₁的中心和拋物線Γ₂的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O，Γ₁、Γ₂的焦點(diǎn)均在x軸上，過Γ₂的焦點(diǎn)F作直線l，與Γ₂交于A、B兩點(diǎn)，在Γ₁、Γ₂上各取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：

x	3	-2	4	3
y	-2 3	0	-4	- 3 2

（1）求Γ₁，Γ₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若l與Γ₁交于C、D兩點(diǎn)，F(xiàn)₀為Γ₁的左焦點(diǎn)，求

S△F0AB

S△F0CD

的最小值；
（3）點(diǎn)P、Q是Γ₁上的兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，求證：

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

為定值；反之，當(dāng)

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

為此定值時(shí)，OP⊥OQ是否成立？請說明理由．