已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx），其中常數(shù)ω＞0．
（1）當ω=2時，x∈[-

π

6

，

π

3

]，求f（x）的值域；
（2）若y=f（x）在[-

π

4

，

2π

3

]單調(diào)遞增，求ω的取值范圍．

設(shè)各項都是正整數(shù)的無窮數(shù)列{a_n}滿足：對任意n∈N^*，有a_n＜a_n+1．記b_n=aan．
（1）若數(shù)列{a_n}是首項a₁=1，公比q=2的等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）若b_n=3n，證明：a₁=2；
（3）若數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，c_n=a an+1，{c_n}是公差為1的等差數(shù)列．記d_n=-2ⁿ•a_n，S_n=d₁+d₂+…+d_n-1+d_n，問：使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的最小正整數(shù)n是否存在？并說明理由．

在數(shù)列{a_n}中，a_n=

1

n

（n∈N^*）．從數(shù)列{a_n}中選出k（k≥3）項并按原順序組成的新數(shù)列記為{b_n}，并稱{b_n}為數(shù)列{a_n}的k項子列．例如數(shù)列

1

2

，

1

3

，

1

5

，

1

8

為{a_n}的一個4項子列．
（Ⅰ）試寫出數(shù)列{a_n}的一個3項子列，并使其為等差數(shù)列；
（Ⅱ）如果{b_n}為數(shù)列{a_n}的一個5項子列，且{b_n}為等差數(shù)列，證明：{b_n}的公差d滿足-

1

8

＜d＜0；
（Ⅲ）如果{c_n}為數(shù)列{a_n}的一個m（m≥3）項子列，且{c_n}為等比數(shù)列，證明：c₁+c₂+c₃+…+c_m≤2-

1

2m-1

．

表面積為144π的球內(nèi)切于一個圓臺（即球與圓臺的上、下底面和側(cè)面都相切），如果圓臺的下底面與上底面的半徑之差為5，求圓臺的表面積和體積．

“蛟龍?zhí)枴睆暮５字袔Щ氐哪撤N生物，甲乙兩個生物小組分別獨立開展對該生物離開恒溫箱的成活情況進行研究，每次試驗一個生物，甲組能使生物成活的概率為

1

3

，乙組能使生物成活的概率為

1

2

，假定試驗后生物成活，則稱該試驗成功，如果生物不成活，則稱該次試驗是失敗的．
（1）甲小組做了三次試驗，求至少兩次試驗成功的概率；
（2）如果乙小組成功了4次才停止試驗，求乙小組第四次成功前共有三次失敗，且恰有兩次連續(xù)失敗的概率；
（3）若甲乙兩小組各進行2次試驗，設(shè)試驗成功的總次數(shù)為ξ，求ξ的期望．

已知正項數(shù)列{x_n}滿足x_n+

1

xn+1

＜2（n∈N^*）．
（1）證明：x_n+

1

xn

≥2；
（2）證明：x_n＜x_n+1；
（3）證明：

n-1

n

＜x_n＜

n+1

n

．

已知ad≠bc，求證：（a²+b²）（c²+d²）＞（ac+bd）²．

已知f（x）是定義在（-1，1）上的單調(diào)遞增函數(shù)，解不等式：f（t-1）-f（-t）＜0．

如圖，已知OPQ是半徑為

3

，圓心角為

π

3

的扇形，C是扇形弧上的動點，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記∠COP=x，矩形ABCD的面積為f（x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式，并寫出其定義域；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）+f（x+

π

4

）的最大值及相應(yīng)的x值．

△ABC的三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)邊分別為a，b，c．若A，B，C成等差數(shù)列，求證：

c

a+b

+

a

b+c

=1．