設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）令g₁（x）=g（x），g_n+1（x）=g（g_n（x）），n∈N₊，求g_n（x）的表達式；
（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)n∈N₊，比較g（1）+g（2）+…+g（n）與n-f（n）的大小，并加以證明．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，直線y=x被橢圓C截得的線段長為

4 10

5

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點（A，B不是橢圓C的頂點）．點D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸、y軸分別交于M，N兩點．
（i）設(shè)直線BD，AM的斜率分別為k₁，k₂，證明存在常數(shù)λ使得k₁=λk₂，并求出λ的值；
（ii）求△OMN面積的最大值．

對于數(shù)對序列P：（a₁，b₁），（a₂，b₂），…，（a_n，b_n），記T₁（P）=a₁+b₁，T_k（P）=b_k+max{T_k-1（P），a₁+a₂+…+a_k}（2≤k≤n），其中max{T_k-1（P），a₁+a₂+…+a_k}表示T_k-1（P）和a₁+a₂+…+a_k兩個數(shù)中最大的數(shù)，
（Ⅰ）對于數(shù)對序列P：（2，5），（4，1），求T₁（P），T₂（P）的值；
（Ⅱ）記m為a，b，c，d四個數(shù)中最小的數(shù)，對于由兩個數(shù)對（a，b），（c，d）組成的數(shù)對序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），試分別對m=a和m=d兩種情況比較T₂（P）和T₂（P′）的大��；
（Ⅲ）在由五個數(shù)對（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）組成的所有數(shù)對序列中，寫出一個數(shù)對序列P使T₅（P）最小，并寫出T₅（P）的值（只需寫出結(jié)論）．

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA₁=AC=2，BC=1，E，F(xiàn)分別是A₁C₁，BC的中點．
（Ⅰ）求證：平面ABE⊥B₁BCC₁；
（Ⅱ）求證：C₁F∥平面ABE；
（Ⅲ）求三棱錐E-ABC的體積．

函數(shù)f（x）=ax³+3x²+3x（a≠0）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（1，2）是增函數(shù)，求a的取值范圍．

如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分別為AC、DC、AD的中點．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面BCG；
（Ⅱ）求三棱錐D-BCG的體積．
附：錐體的體積公式V=

1

3

Sh，其中S為底面面積，h為高．

在如圖所示的多面體中，四邊形ABB₁A₁和ACC₁A₁都為矩形
（Ⅰ）若AC⊥BC，證明：直線BC⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）設(shè)D、E分別是線段BC、CC₁的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE∥平面A₁MC？請證明你的結(jié)論．

在平面四邊形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖．
（1）求證：AB⊥CD；
（2）若M為AD中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．

一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1，3張卡片上的數(shù)字是2，2張卡片上的數(shù)字是3，從盒中任取3張卡片．
（Ⅰ）求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；
（Ⅱ）X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．（注：若三個數(shù)字a，b，c滿足a≤b≤c，則稱b為這三個數(shù)的中位數(shù)．）

已知{a_n}是公差d＞0的等差數(shù)列，首項a₁=3，前n項和為S_n，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，其中b₁=1，且a₂b₂=12，S₃+b₂=20．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）令c_n=

a n，a n≥b n b n，an＜b n

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．