在平面四邊形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖．
（1）求證：AB⊥CD；
（2）若M為AD中點(diǎn)，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．
考點(diǎn)：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系
專題：空間角
分析：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理即可得出；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)直線AD與平面MBC所成角為θ，利用線面角的計(jì)算公式sinθ=|cos＜
n
，
AD
＞|=
|
n
•
AD
|
|
n
| |
AD
|
即可得出．
解答： （1）證明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB?平面ABD，AB⊥BD，
∴AB⊥平面BCD，又CD?平面BCD，∴AB⊥CD．
（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，
∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M(0，
1
2
，
1
2
)．
∴
AD
=（0，1，-1），
BC
=（1，1，0），
BM
=(0，
1
2
，
1
2
)．
設(shè)平面BCM的法向量
n
=（x，y，z），則
n
•
BC
=x+y=0
n
•
BM
=
1
2
y+
1
2
z=0
，
令y=-1，則x=1，z=1．
∴
n
=（1，-1，1）．
設(shè)直線AD與平面MBC所成角為θ．
則sinθ=|cos＜
n
，
AD
＞|=
|
n
•
AD
|
|
n
| |
AD
|
=
2
3
×
2
=
6
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了面面垂直的性質(zhì)定理、線面角的計(jì)算公式sinθ=|cos＜
n
，
AD
＞|=
|
n
•
AD
|
|
n
| |
AD
|
，考查了推理能力和空間想象能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

為了了解范縣一中2500名男生的身體發(fā)育情況，抽查了該校100名高中男生的體重情況，根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)出樣本的頻率分布直方圖，據(jù)此估計(jì)該校高中男生體重在70～78kg的人數(shù)為（　　）
A、300B、160
C、80D、60

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）設(shè)AP=1，AD=
3
，三棱錐P-ABD的體積V=
3
4
，求A到平面PBC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3+x2+ax+1（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，試討論是否存在x0∈（0，
1
2
）∪（
1
2
，1），使得f（x0）=f（
1
2
）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+3x|x-a|．
（1）當(dāng)a=
1
2
時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間[0，2]內(nèi)有極小值，且極小值不小于2a2-
3
4
a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于數(shù)對(duì)序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（an，bn），記T1（P）=a1+b1，Tk（P）=bk+max{Tk-1（P），a1+a2+…+ak}（2≤k≤n），其中max{Tk-1（P），a1+a2+…+ak}表示Tk-1（P）和a1+a2+…+ak兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，
（Ⅰ）對(duì)于數(shù)對(duì)序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；
（Ⅱ）記m為a，b，c，d四個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，對(duì)于由兩個(gè)數(shù)對(duì)（a，b），（c，d）組成的數(shù)對(duì)序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），試分別對(duì)m=a和m=d兩種情況比較T2（P）和T2（P′）的大��；
（Ⅲ）在由五個(gè)數(shù)對(duì)（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）組成的所有數(shù)對(duì)序列中，寫(xiě)出一個(gè)數(shù)對(duì)序列P使T5（P）最小，并寫(xiě)出T5（P）的值（只需寫(xiě)出結(jié)論）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別在棱DD1，BB1上移動(dòng)，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）
（Ⅰ）當(dāng)λ=1時(shí)，證明：直線BC1∥平面EFPQ；
（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

△ABC中，∠ABC=90°，若BD⊥AC且BD交AC于點(diǎn)D，丨
BD
丨=
3
，則
BD
•
BC
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)集P={（x，y）|x，y∈{1，2，3}}，從集合P中任取一點(diǎn)，縱橫坐標(biāo)和為偶數(shù)的概率是（　　）
A、
1
2
B、
1
3
C、
4
9
D、
5
9

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同步練習(xí)冊(cè)答案